Teoremas da Lógica

Os teoremas e lemas a seguir foram retirados exclusivamente de:
Shapiro, Stewart, "Classical Logic", The Stanford Encyclopedia of Philosophy
(Winter 2009 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
http://plato.stanford.edu/entries/logic-classical/

Conceitos

1.Regras de formação

Seja L uma linguagem de primeira ordem

(1) P_i ϵ L (i ϵ N) – uma variável proposicional é uma fórmula (wff)

(2) φ ϵ L => ¬φ ϵ L

(3) φ , ψ ϵ  L =>

(3.1) (φ ˄ ψ),

(3.2) (φ ˅ ψ),

(3.3) (φ → ψ),

(3.4)  (φ ↔ ψ) ϵ X

(4) φ ϵ L e x é uma variável => ∀xφ ϵ  L

(5) φ ϵ L e x é uma variável => ∃xφ ϵ  L

(6) todas as wff’s de L são formadas de acordo com as regras (1)-(5)

Regras de inferência – parte II – Regras de Substituição

Regras de inferência são regras sintáticas que produzem enunciados válidos em um sistema formal. A partir de um conjunto de proposições podemos derivar outras seguindo estas regras. No artigo “Regras de Inferência” foram apresentadas as 10 regras de inferência básicas, e neste presente artigo serão expostas as regras restantes, que são de importância funda- mental e são utilizadas com muita frequencia em demonstrações na matemática e na lógica.

As seguintes regras de inferência são chamadas regras de substituição porque estabelecem as transformações entre proposições logicamente equivalentes. Por exemplo, a proposição p pode ser inferida a partir da proposição ¬¬p, e é a partir desta regra de inferência que iniciamos a nossa lista:

Lógica Matemática – Semântica

Até o momento foram apresentados somente os aspectos sintáticos da nossa linguagem L. Dessa maneira, e em conjunto com os axiomas e regras de inferência, a linguagem não passaria de uma manipulação automática de símbolos sem significação completa. Então para tornar a nossa linguagem formal completa e útil, devemos adicionar-lhe uma semântica, isto é, atribuir valor a cada uma das fórmulas da linguagem.

Considere um conjunto {T , F}, de dois elementos distintos, T e F .

T e F devem ser entendidos como valores de verdade, significando, respectivamente, verdadeiro e falso (true e false).

Índice de Símbolos

Uma das maiores dificuldades no aprendizado de lógica matemática é conhecer a aparente infinidade de símbolos utilizados na representação de variáveis, conectivos, constantes e operadores. Para unificar a localização e facilitar o entendimento, apresento aqui os símbolos mais comuns e frequentes no simbolismo lógico. A lista não está completa, existem ainda outros, mas estes são os mais comuns.

Lógica Matemática – Sintaxe

Bom, chegou a hora de penetrar definitivamente no simbolismo matemático da lógica. Após uma breve exposição do background filosófico da lógica, temos condições de prosseguir no estudo do cálculo proposicional.

Nas palavras de van Dalen, o processo de formalização da lógica proposicional consiste em dois estágios:

(1) apresentar uma linguagem formal,

(2) especificar um procedimento para se obter proposições válidas e verdadeiras.

Estes dois estágios complementares podem ser compreendidos analogamente como a definição de um alfabeto e a definição de uma gramática de nossa linguagem, e é isso o que devemos fazer a seguir.

Quine – Dois Dogmas do Empirismo [2]

Capítulo 1

2. DEFINIÇÃO

Há aqueles que acham reconfortante dizer que os enunciados analíticos da segunda classe se reduzem àqueles da primeira classe, as verdades lógicas, por definição; “solteiro”, por exemplo, é definido como “homem não-casado”. Mas como nós descobrimos que “solteiro” é definido como “homem não-casado”? Quem definiu assim, e quando? Será que vamos apelar para o dicionário mais próximo, e aceitar a formulação do lexicógrafo como uma lei? Claramente isso seria pôr a carroça à frente dos burros. O lexicógrafo é um cientista empírico, cuja tarefa é registrar fatos antecedentes; e se ele explica “solteiro” como “homem não-casado” é devido à sua crença de que há uma relação de sinonímia entre essas formas, implícita em geral ou de uso estabelecido anteriormente ao seu trabalho. A noção de sinonímia pressuposta aqui ainda precisa ser esclarecida, presumivelmente em relação ao comportamento linguistico. Certamente a “definição” que é o relato de um lexicógrafo de uma sinonímia observada não pode ser considerada o fundamento da sinonímia.

Lógica Matemática – Conectivos

Este artigo se propõe a discutir o significado dos conectivos lógicos; para tanto, é necessário investir em uma profunda discussão linguistico-filosófica sobre o funcionamento desses operadores. O aspecto prático destes conectivos, ou seja, as tabelas de verdade dos conectivos, está presente no artigo sobre a semântica da linguagem.

No artigo anterior foram introduzidas as proposições compostas, que são enunciados que são formados por proposições simples. Estas proposições simples são ligadas por conectivos e, juntas, formam a proposição composta. Por sua verdade depender somente dos valores de verdade das proposições componentes, a proposição composta é uma função de verdade de suas componentes, dessa forma, também é chamada de vero-funcional. Proposições vero-funcionais são de importância fundamental na lógica.

Conhecemos muitos conectivos na língua natural, por exemplo:
e, ou, não, se… então, mas, pois, como, por, embora, nem.

Esta lista de maneira nenhuma pretende ser exaustiva.

O Silogismo

O silogismo é um personagem central na Lógica clássica. A lógica tem como objetivos analisar a estrutura de argumentos dedutivos e identificar os raciocínios que devem ser considerados válidos. Argumentos são classificados em dedutivos ou indutivos e a distinção entre eles deve ser bem compreendida.

Os raciocínios indutivos, como costuma-se dizer, partem do particular para o geral; e os dedutivos, do geral para o particular. Mas este contraste parece não nos comunicar muita coisa, o que realmente se quer dizer com “do particular para o geral” e vice-versa?

Lógica Matemática – Proposições

Proposições

Uma das linguagens formais mais importantes da lógica é o cálculo proposicional. Geralmente é o primeiro a ser ensinado a iniciantes em lógica matemática. O objetivo do cálculo proposicional é representar as proposições através de variáveis e abstrair da linguagem ordinária as propriedades de certos conectivos sentenciais. Antes de explicar o que são exatamente ‘conectivos’, devemos deixar clara a noção de proposição.

Lógica Matemática – Introdução

Lógica Matemática, por quê?

Desde os tempos de Leibniz sonhava-se em criar uma linguagem artificial que fosse livre das ambiguidades e imprecisões da linguagem ordinária. Este ideal começou a se realizar no século XIX, principalmente após o advento da Begriffschrift (Conceitografia) de Frege. Foi aí que se iniciou uma ruptura com toda a tradição clássica da lógica e foram estabelecidos os fundamentos da lógica simbólica moderna. E então a lógica veio a ser contemplada e estudada por filósofos, matemáticos, engenheiros, cientistas da computação e linguistas.

Assim como a lógica clássica aristotélica, a lógica moderna busca explicar as relações válidas entre premissas e conclusão em raciocínios dedutivos. A principal diferença reside na construção de uma linguagem formal para levar esta tarefa a cabo. Mas porque os filósofos e matemáticos acharam que era importante deixar a linguagem natural de lado e desenvolver uma artificial?