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Lógica Matemática – Proposições

Proposições

Uma das linguagens formais mais importantes da lógica é o cálculo proposicional. Geralmente é o primeiro a ser ensinado a iniciantes em lógica matemática. O objetivo do cálculo proposicional é representar as proposições através de variáveis e abstrair da linguagem ordinária as propriedades de certos conectivos sentenciais. Antes de explicar o que são exatamente ‘conectivos’, devemos deixar clara a noção de proposição.

Antes de entrar na simbologia da lógica, será útil e instrutivo empreender uma exposição conceitual.

Proposição não é o mesmo que ‘frase’. Uma frase tem um escopo mais amplo que o da proposição, exemplos de frases que não podem ser consideradas proposições são:

um pedido (“você pode me passar o sal?”)
uma ordem (“Chame o gerente!”)
desejos (“Ah, quem dera ela me amasse!”)
perguntas (“Quantos anos você tem?”)

A proposição é uma frase afirmativa ou negativa que exprime um sentido e “dá algo a entender” por si mesma. Em termos mais precisos, pode-se dizer que a proposição emite um juízo; afirma (ou nega) algo sobre alguma coisa; realiza uma ligação entre um sujeito e um predicado; predica algo de um sujeito.

Mas o ponto fundamental ao qual quero chegar é que com uma proposição ergue-se uma pretensão de verdade, isto é, somente uma proposição pode ser avaliada como verdadeira ou falsa.

O mesmo não pode ser feito com uma pergunta ou uma ordem:
“Qual o seu nome? Me diga seu nome!” certamente são frases, mas não podem ser avaliadas como verdadeiras, tampouco como falsas. Isso também acontece com um nome (em lógica, a palavra que designa um objeto): se alguém diz “Pedro.“, provavelmente você vai perguntar “Pedro o que? O que tem o Pedro?”, da mesma maneira, se alguém diz “Vaso.”, você se perguntaria o que se pretendia dizer com isso. Apesar de essas palavras possuírem significado independente, não se diz nada somente com elas, elas ainda não formam uma proposição. Toda proposição é verdadeira ou falsa.
Toda proposição possui um valor-verdade.

obs: nem sempre a enunciação de nomes simples é sem sentido, pois pode-se imaginar uma situação em que atuam como respostas, como:
-Quem esteve aqui ontem?
-Pedro.
Neste caso o nome funciona como uma reconstrução da pergunta, sendo equivalente a “Pedro esteve aqui ontem”

O conceito de proposição é expresso de diferentes modos, também pode ser chamado de frase enunciativa, enunciado (em ingles statement), juízo (Kant), estado-de-coisas (Wittgenstein) e frase (Aristóteles). Aqui seguiremos a tendência atual de usar o termo “proposição”.

Tipos de Proposição

As proposições podem ser divididas em simplescompostas.

Proposições simples são aquelas que não possuem nenhuma outra proposição como componente, ex: “Pedro está sentado”. Esta proposicão é uma das menores possíveis, composta somente de sujeito, verbo e predicado simples. Proposições compostas são aquelas que possuem outras proposições dentro de si, como “Pedro foi ao jantar ou resolveu ficar em casa“. Aqui as proposições componentes são ‘Pedro foi ao jantar’ e ‘Pedro resolveu ficar em casa’, juntas elas formam uma proposição composta através do conectivo ‘ou‘.

Proposições compostas como essa do jantar são vero-funcionais. Proposições vero-funcionais são aquelas cuja verdade depende somente do valor-verdade de suas componentes e se uma ou mais componentes for substituída por outra com o mesmo valor-verdade, a verdade da proposição composta permanece a mesma.

Proposições com o conectivo ‘e‘ são verdadeiras somente quando todos os componentes são verdadeiros. Por exemplo, “O cão latiu e o gato subiu no armário” é uma proposição composta vero-funcional, e vamos supor que as duas proposições componentes são verdadeiras, assim a proposição composta é verdadeira também. Se substituírmos ‘O cão latiu’ por ‘O livro é verde’, e o livro em questão realmente for verde, a proposição é verdadeira assim como ‘o cão latiu’, então a proposição “O livro é verde e o gato subiu no armário” será verdadeira.

Acho conveniente limitar esta discussão até este ponto para que este artigo não se torne demasiado longo. Em seguida, o assunto a ser tratado serão os conectivos, e há muito a se discutir sobre conectivos!

Continua em

Lógica Matemática – Conectivos

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