Na coluna direita estão indicadas as linhas e as regras de inferência que produziram a fórmula da coluna esquerda.

1) Derive U das seguintes premissas:

2) Derive (R ˄ S)

3) Derive P → ¬R

4) Derive ¬(P ˄ Q)

5) Derive (P ˅ Q) ˄ (P ˄ R)

`

Adaptado de

Mortari, Cezar A. 2001. Introdução à Lógica – São Paulo: Editora UNESP.

Conceitos

1.Regras de formação

Seja L uma linguagem de primeira ordem

(1) P_i ϵ L (i ϵ N) – uma variável proposicional é uma fórmula (wff)

(2) φ ϵ L => ¬φ ϵ L

(3) φ , ψ ϵ  L =>

(3.1) (φ ˄ ψ),

(3.2) (φ ˅ ψ),

(3.3) (φ → ψ),

(3.4)  (φ ↔ ψ) ϵ X

(4) φ ϵ L e x é uma variável => ∀xφ ϵ  L

(5) φ ϵ L e x é uma variável => ∃xφ ϵ  L

(6) todas as wff’s de L são formadas de acordo com as regras (1)-(5)

2.Graus e Princípios de Indução

Para facilitar as provas e definições indutivas, definimos o grau de uma fórmula como o número de ocorrências de conectivos lógicos nela.

(i) P_i (i ϵ N) tem grau zero

(ii) Se φ tem grau n, então ¬φ tem grau n+1

(iii) Se as fórmulas φ e ψ tem, respectivamente, graus n e m, então φ □ ψ tem grau n+m+1

3.Indução Matemática

Seja S um conjunto de fórmulas e P uma certa propriedade que queremos mostrar que vale para todo elemento de S; para isso, as seguintes condições devem ser satisfeitas:

(i) todo elemento de S de grau zero possui a propriedade P

(ii) Se algum elemento de S de grau maior que zero não tiver a propriedade P, então algum elemento de grau inferior não tem a propriedade P

4. Dedução

Seja D um sistema dedutivo. Um argumento é uma coleção não-vazia de fórmulas de L, sendo uma delas chamada de conclusão. Se há quaisquer outras fórmulas no argumento, elas são suas premissas. Por convenção, Γ é utilizado para representar um conjunto de fórmulas. ” Γ, Γ’ ” representa a união de Γ e Γ’ , “Γ, φ” a união de Γ com {φ}.

Um argumento é escrito como <Γ, φ>, onde Γ é o conjunto de premissas e φ a conclusão.

Γ pode ser vazio.

Γ ⊢ φ indica que φ é derivável de Γ, ou, em outras palavras, que o argumento <Γ, φ> é derivável em D.

⊢ φ indica que φ pode ser deduzida de um conjunto vazio de premissas, ou seja, que φ é um teorema.

Regras de inferência

Pressuposto

(As) Se φ é um membro de Γ, então Γ ⊢ φ

As regras de inferência a seguir são relativas aos conectivos e quantificadores. As regras indicam como “introduzir”e “eliminar” fórmulas nas quais cada símbolo é o operador principal. As iniciais I e E, correspondem respectivamente a essas ações.

Conjunção

(˄I) Se Γ₁ ⊢ θ e Γ₂ ⊢ ψ, então Γ₁, Γ₂ ⊢ (θ ˄ ψ).

(˄E) Se Γ ⊢ (θ ˄ ψ) então Γ ⊢ θ; e se Γ ⊢ (θ ˄ ψ) então Γ ⊢ ψ.

Os nomes “˄I” e “˄E” significam ˄-Introdução e ˄-Eliminação.

Disjunção

(∨I) Se Γ ⊢ θ então Γ ⊢ (θ ∨ ψ); se Γ ⊢ ψ então Γ ⊢ (θ ∨ ψ).

(∨E) Se Γ₁ ⊢ (θ ∨ ψ), Γ₂, θ ⊢ φ e Γ₃, ψ ⊢ φ, então Γ₁, Γ₂, Γ₃ ⊢ φ.

Condicional

(→I) Se Γ, θ ⊢ ψ, então Γ ⊢ (θ → ψ).

(→E) Se Γ₁ ⊢ (θ → ψ) e Γ₂ ⊢ θ , então Γ₁, Γ₂ ⊢ ψ

Negação

(¬I) Se Γ₁, θ ⊢ ψ e Γ₂, θ ⊢ ¬ψ, então Γ₁, Γ₂ ⊢ ¬θ.

(DNE) Se Γ ⊢ ¬¬θ, então Γ ⊢ θ.

DNE significa “Double Negation Elimination”.

Quantificador Universal

(∀I) Se Γ ⊢ θ e a variável v não está livre em nenhum membro de Γ, então Γ ⊢ ∀vθ.

(∀E) Se Γ ⊢ ∀v θ, então Γ ⊢ θ(v|t), desde que t esteja livre para v em θ.

Quantificador Existencial

(∃I) Se Γ ⊢ θ, então Γ ⊢ ∃v θ′, onde θ′ é obtido por θ ao substituir a variável v por zero ou mais ocorrências do termo t, no caso em que (1) se t é  uma variável, então todas as ocorrências substituídas de t estão livres em θ, e (2) todas as ocorrências substituídas de v estão livres em θ′.

(∃E) Se Γ₁ ⊢ ∃v θ e Γ₂, θ ⊢ φ, então Γ₁, Γ₂ ⊢ φ, no caso em que v não está livre em φ, nem em qualquer membro de Γ₂.

Igualdade

(=I) Γ ⊢ t=t, onde t é qualquer termo.

(=E) Se Γ₁ ⊢ t₁=t₂ e Γ₂ ⊢ θ, então Γ₁, Γ₂ ⊢ θ′, onde θ′ é obtida a partir de θ substituindo zero ou mais ocorrências de t₁ com t₂, no caso em que nenhuma variável ligada é substituída, e se t₂ é uma variável, então todas as suas ocorrências substituídas estão livres.

Uma última regra completa a descrição do sistema dedutivo D.

(*) Γ ⊢ θ somente se θ segue-se dos membros de Γ de acordo com as regras anteriores.

Esta regra permite provas por indução nas regras usadas para estabelecer uma inferência. Se uma propriedade de argumentos é verdadeira para todas as instâncias de (As) e (=I), e se as outra regras preservam a propriedade, então todo argumento que é derivável de D possui a propriedade em questão.

TEOREMAS

Teorema 1. Toda fórmula de L tem o mesmo número de parênteses esquerdos e parênteses direitos.

Cada parênteses esquerdo corresponde a um único parênteses direito, o que acontece à direita do parênteses esquerdo. Similarmente, cada parênteses direito corresponde a um único parênteses esquerdo, o que ocorre à esquerda do parênteses direito. Se um parênteses esquerdo ou direito ocorre entre um par de parênteses já combinados, então o seu par ocorre dentro do par já combinado. Em outras palavras, parênteses que ocorrem no interior de um par fechado, já são fechados entre si.

prova: De acordo com (6) todas as fórmulas são construídas segundo as regras (2) até (5). As fórmulas atômicas não tem parênteses. Parênteses são introduzidos somente na regra (3), e a cada vez que eles são introduzidos, são introduzidos como um par combinado. Então em qualquer estágio da construção da fórmula, os parênteses estão combinados.

A seguir, vamos provar que L é destituída de equívocos e anfibolias.

Lema  2. Cada fórmula consiste em uma expressão com zero ou mais conectivos unários seguidos ou por uma fórmula atômica ou uma fórmula produzida por um conectivo binário, através da regra (3).

prova: Devemos proceder por indução na complexidade da fórmula ou, em outras palavras, no número de regras de formação que são aplicadas. O lema claramente é verdadeiro para fórmulas atômicas. Seja n um número natural, e suponha que o lema é verdadeiro para qualquer fórmula de grau n. Então seja θ uma fórmula de grau n+1. O lema é verdadeiro se a última regra usada para construir θ foi (3). Se a regra usada para construir θ foi (2), então θ é ¬ψ. Desde que ψ possui grau n, então o lema é verdadeiro para ψ (por hipótese de indução), então é verdadeiro para θ.  Raciocínio similar mostra que o lema é verdadeiro se a última regra usada foi (4) ou (5). Pela regra (6), estes são todos os casos, então o lema é verdadeiro para θ, por indução.

Lema 3. Se uma fórmula φ contém um parênteses esquerdo, então termina com um parênteses direito , que se combina com o parênteses mais à esquerda de φ.

prova: Aqui nós temos que proceder por indução nas instâncias de (2)-(5) usadas para construir a fórmula. Evidentemente, o lema é verdadeiro para fórmulas atômicas, desde que elas não possuem parênteses. Suponha, então, que o lema é verdadeiro para fórmulas de grau n construídas de acordo com (2)-(5), e seja φ uma fórmula de grau n+1. Se a última regra aplicada foi (3), então o lema é verdadeiro para φ, desde que φ começa com um parênteses esquerdo e termina com um direito. Se a última regra aplicada foi (2), então φ é ¬ψ, e a hipótese de indução se aplica a ψ. De modo similar, se a última regra aplicada foi (4) ou  (5), então ψ consiste em um quantificador, uma variável, e uma fórmula aos quais nós aplicamos a hipótese de indução. Assim, segue-se que o lema é verdadeiro para φ.

Lema 4. Cada fórmula consiste em pelo menos uma fórmula atômica.

prova: Devemos proceder por indução nas instâncias de (2)-(5) usadas para construir a fórmula. Que o lema é verdadeiro para fórmulas atômicas, é trivial. Suponha, então, que o lema é verdadeiro para fórmulas de grau n construídas de acordo com  (2)-(5). Seja ψ uma fórmula de grau n+1. Se a última regra usada foi (3), então ψ é dividida em duas fórmulas φ e θ. Caso φ seja uma fórmula atômica, o lema é verdadeiro, senão, a última regra aplicada foi (3) a fórmula pode ser decomposta em dois componentes um número finito de vezes, até que encontre-se uma fórmula atômica. O mesmo raciocínio vale para θ. Se a última regra usada foi (2), então ψ é ¬θ, e a hipótese de indução se aplica a θ.  De modo similar, se a última regra usada foi (4) ou (5), a hipótese de indução também se verifica. Assim, segue-se que o lema é verdadeiro para ψ.

Teorema 5. Seja α, β uma sequência não-vazia de caracteres de nosso alfabeto, tais que αβ (i.e. α seguido por β) é uma fórmula. Então α não é uma fórmula.

prova: De acordo com o teorema 1 e lema 3, se α contém um parênteses esquerdo, então o parênteses direito que combina com o parênteses mais à esquerda em αβ está no fim de αβ, assim, o parênteses direito que está em β. Então α possui mais parênteses esquerdos do que direitos. Pelo teorema 1, α não é uma fórmula. Então agora suponha que α não contém nenhum parênteses esquerdo. Pelo lema 2, αβ consiste de uma expressão de zero ou mais operadores unários seguidos por uma fórmula atômica ou uma fórmula produzida por um conectivo binário, através da regra (3). Se a última fórmula foi produzida pela regra (3), então começa com um parênteses esquerdo. Já que α não possui parênteses, então deve ser uma expressão de marcadores unitários. Mas então α não possui nenhuma fórmula atômica, assim, pelo lema 4, α não é uma fórmula. O única caso restante é onde αβ consiste de uma expressão de marcadores unitários seguidos por uma fórmula atômica, da forma t₁ = t₂ ou p_t1… t_n. Novamente, se α apenas consistia em marcadores unitários, não seria uma fórmula, e então α deve consistir dos marcadores unitários que iniciam αβ, seguido por t₁ sozinho, t₁= sozinho, ou o símbolo predicativo P, e talvez alguns (mas não todos) os termos t₁,…, t_n. Nos dois primeiros casos, α não contém uma fórmula atômica, de acordo com a política de que as categorias não se sobrepõem. Desde que P é um símbolo predicativo n-ário, pela política de que os símbolos predicativos são distintos, P não é um símbolo predicativo m-ário para qualquer m ≠ . Então a parte de α que consiste em P seguida pelos termos não é uma fórmula atômica. Em todos esses casos, então, α não contém uma fórmula atômica. Pelo lema 4, α não é uma fórmula.

Estamos finalmente preparados para demonstrar que não há nenhuma anfibolia na nossa linguagem.

Teorema 6. Seja φ uma fórmula de L. Se φ não é atômica, então existe uma e somente uma dentre (2)-(5) que foi a última regra aplicada para construir φ. Quer dizer, φ não poderia ter sido construída por duas regras diferentes. Além disso, nenhuma fórmula produzida por (3)-(5) é atômica.

prova: A regra (6) diz que φ é atômica ou foi produzida por uma das regras (3)-(5). Portanto, o primeiro símbolo de φ deve ser um símbolo predicativo, um termo, um marcador unitário ou um parênteses esquerdo. Se o primeiro símbolo em φ é um símbolo predicativo ou um termo, então φ é atômica. Neste caso, φ não foi produzida por qualquer uma das regras (2)-(5), desde que todas as fórmulas desses tipos começam com um símbolo predicativo ou um termo. Se o primeiro símbolo em φ é um sinal de negação, então φ foi produzida pela regra (2), e por mais nenhuma outra regra (desde que as outras regras produzem fórmulas que iniciam por um quantificador ou um parênteses esquerdo). De modo similar, se φ começa por um quantificador universal, então é produzida pela regra (4), e por nenhuma outra, e se φ começa com um quantificador existencial, então é produzida pela regra (5) e nenhuma outra. O único caso restante é o que φ começa com um parênteses esquerdo. Neste caso, foi produzida pela regra (3) e nenhuma outra. Nós precisamos somente excluir a possibilidade de que φ foi construída por mais de uma regra de (3.1)-(3.4). Para ilustrar, suponha que φ foi produzida por (3.1) e (3.2). Então φ é (ψ1 ˄ θ1) e φ também é (ψ2 ˅ θ2), onde ψ1, θ1, ψ2 e θ2 são fórmulas. Quer dizer, (ψ1 ˄ θ1) é a mesma fórmula que (ψ2 ˅ θ2). Pelo teorema 5, ψ1 não pode ser parte de ψ2, nem pode ψ2 ser parte de ψ1. Então ψ1 deve ser a mesma fórmula que ψ2. Mas então “˄” deve ser o mesmo símbolo que “˅”, e isso contradiz a regra de que todos os símbolos são diferentes. Então φ não foi produzida simultaneamente por (3.1) e (3.2). Raciocínio similar prova o mesmo sobre as outras combinações.

Este resultado é chamado de “legibilidade única”. O conectivo principal de uma fórmula é o conectivo introduzido pela última regra utilizada na construção da fórmula.

Lema 7. Suponha que Γ ⊢_D φ, e seja v′ uma variável que não ocorre livre em φ ou em qualquer membro de Γ. Assuma que v′ está livre para v em φ e em todo membro de Γ. Seja Γ′ {θ(v|v′) | θ ∈ Γ}. Quer dizer, Γ′ é o resultado da substituição de todo ocorrência livre de uma variável v por v′ em todo membro de Γ. Então Γ′ ⊢_D φ(v|v′).

prova: A prova deste lema é tediosa, mas será focada sua parte essencial. Nós procedemos por indução no número de regras que foram usadas para chegar a  Γ ⊢ φ. Suponha que n>0 é um número natural, e que o lema é verdadeiro para qualquer argumento que foi derivado usando menos que n regras de inferência. Se n = 1, então a regra aplicada foi (As) ou (=I). Neste caso, Γ′ ⊢ φ(v|v′) segundo a mesma regra. Se a última regra aplicada foi (˄I), então φ tem a forma (θ ˄ ψ), e nós temos Γ₁ ⊢ θ e Γ₂ ⊢ ψ, com Γ = Γ₁, Γ₂. Nós aplicamos a hipótese de indução às deduções de θ e ψ, e então aplicamos (˄I) ao resultado. Se a última regra aplicada foi (˄E), nós temos dois subcasos, mas eles são simétricos. Nós temos Γ ⊢ (φ ˄ ψ). Há duas pequenas complicações aqui: a nova variável v′ pode ocorrer livre em ψ e pode não estar livre para v em ψ. Em qualquer um dos casos, primeiro pegamos uma nova variável u que não ocorrer (livre ou ligada) em (φ ˄ ψ) ou em qualquer membro de Γ. Agora aplicamos a hipótese de indução, substituindo u por v′ na dedução Γ ⊢ (φ ˄ ψ). Desde que v′ não ocorre livre em φ ou em qualquer membro de Γ, aquelas fórmulas não são alteradas. A manobra remove quais quer ocorrências livres de v′ da subfórmula ψ. Agora aplicamos a hipóteses de indução ao resultado, substituindo v′ por v, e então aplicamos (˄E). Os casos restantes são similares.

Teorema 8. Regra do Enfraquecimento - Se Γ₁ ⊢ φ e Γ₁ ⊆ Γ₂, então Γ₂ ⊢ φ.

prova: Novamente, procedemos por indução no número de regras usadas para chegar até Γ₁ ⊢ φ. Suponha que n>0 é um número natural, e que o  teorema é verdadeiro para qualquer argumento que foi derivado usando menos que n regras de inferência. Suponha que Γ₁ ⊢ φ usando exatamente nregras. Se n=1, então a regras é (As) ou (=I). Nestes casos, Γ₂ ⊢ φ pelas mesmas regras. Se a última regra aplicada foi (˄I), então φ tem a forma (θ˄ψ), e nós temos Γ₃ ⊢ θ e Γ₄ ⊢ ψ, com Γ₁ = Γ₃, Γ₄. Nós aplicamos a hipótese de indução às deduções de θ e ψ, para chegar a Γ₂ ⊢ θ e Γ₂ ⊢ ψ. E então nós aplicamos (˄I) ao resultado para chegar a Γ₂ ⊢ φ. A maioria dos outros casos é exatamente assim. Pequenas complicações surgem somente nas regras (∀I) e (∃E), porque lá nós temos que prestar atenção nas condições das regras. Começando por (∃E), nós temos Γ₃ ⊢ ∃vθ e Γ₄, θ ⊢ φ, com Γ₁ sendo Γ₃, Γ₄, e v não livre em φ, nem em qualquer membro de Γ₄. Nós aplicamos a hipótese de indução para chegar a Γ₂ ⊢ ∃vθ, e então (∃E) para terminar com Γ₂ ⊢ φ. Suponha que a última regra aplicada para chegar a Γ₁ ⊢ φ seja (∀I). Então φ é uma fórmula da forma ∀vθ, e nós temos Γ₁ ⊢ θ e a variável v não ocorre livre em qualquer membro de Γ₁. O problema é que v pode ocorrer livre em um membro de Γ₂, e assim não podemos simplesmente invocar a hipótese de indução e aplicar (∀I) ao resultado. Seja v′ uma variável que não ocorre em θ ou em qualquer membro de Γ₂, e seja Γ′ o resultado de substituir v′ por cada ocorrência livre de v em Γ₂. Desde que v não ocorre livre em qualquer membro de Γ₁, ainda temos Γ₁⊆Γ. A hipóteses de indução nos dá Γ′ ⊢ θ, e agora nós aplicamos (∀I) para ter Γ′ ⊢ φ. Agora aplicamos o lema 7,  substituindo v pela nova variável v′. O resultado é Γ₂ ⊢ φ.

Teorema 9. Γ ⊢ φ se e somente se há um finito Γ′⊆Γ tal que Γ′ ⊢ φ.

Teorema 10. A regra do ex falso quodlibet é uma “regra derivada” de D. Quer dizer, se Γ₁ ⊢ θ e Γ₂ ⊢ ¬θ, então Γ₁,Γ₂ ⊢ ψ, para qualquer fórmula ψ.

prova: Suponha que Γ₁ ⊢ θ e Γ₂ ⊢ ¬θ. Então pelo teorema 8, Γ₁,¬ψ ⊢ θ, and Γ₂,¬ψ ⊢ ¬θ. Então pela (¬I), Γ₁, Γ₂ ⊢ ¬¬ψ. Pela (DNE), Γ₁, Γ₂ ⊢ ψ.

Teorema 11. A regra do Corte. Se Γ₁ ⊢ ψ e Γ₂, ψ ⊢ θ, então Γ₁, Γ₂ ⊢ θ.

prova: Suponha que Γ₁ ⊢ ψ e Γ₂, ψ ⊢ θ. Nós procedemos por indução no número de regras usadas para estabelecer Γ₂, ψ ⊢ θ. Suponha que n é um número natural, e que o teorema é verdadeiro para qualquer argumento que foi derivado usando menos de n regras. Suponha que Γ₂, ψ ⊢ θ derivada usando exatamente n regras. Se a última regra usada foi (=I), então Γ₁, Γ₂ ⊢ θ é também uma instância de (=I). Se Γ₂, ψ ⊢ θ é uma instância de (As), então θ é ψ, ou θ é um membro de Γ₂. No caso anterior, nós temos Γ₁ ⊢ θ por suposição, e temos Γ₁, Γ₂ ⊢ θ por Enfraquecimento (Teorema 8). No último caso, Γ₁, Γ₂ ⊢ θ é uma instância de (As). Suponha que Γ₂, ψ ⊢ θ foi obtida usando (˄E). Então, nós temos Γ₂, ψ ⊢ (θ˄φ). A hipótese de indução nos dá Γ₁, Γ₂ ⊢ (θ˄φ), e (˄E) produz Γ₁, Γ₂ ⊢ θ. Os casos restantes são similares.

As seguintes regras de inferência são chamadas regras de substituição porque estabelecem as transformações entre proposições logicamente equivalentes. Por exemplo, a proposição p pode ser inferida a partir da proposição ¬¬p, e é a partir desta regra de inferência que iniciamos a nossa lista:

(o símbolo ⇔ faz parte da metalinguagem e representa a equivalência entre as proposições)

Dupla Negação

¬¬P ⇔ P

A dupla negação de uma proposição equivale à própria proposição.
Ex: “É falso que Pedro não foi à padaria” é equivalente a “Pedro foi  à padaria”.

Idempotência

1) P ⇔ (P ˄ P)

2) P ⇔ (P ˅ P)

Evidentemente é uma tautologia.

Comutação

1)  (P ˄ Q) ⇔ (Q ˄ P)

2) (P ˅ Q) ⇔ (Q ˅ P)

3) (P ↔ Q) ⇔ (Q ↔ P)

Os componentes de uma conjunção, disjunção ou bicondicional podem ser comutados para simplificação.

Associação

1) P ˄ (Q ˄ R) ⇔ (P ˄ Q) ˄ R ⇔ (P ˄ R) ˄ Q

2) P ˅ (Q ˅ R) ⇔ (P ˅ Q) ˅ R ⇔ (P ˅ R) ˅ Q

Em geral, o que esta regra de inferência nos diz é que em conjunções e disjunções a ordem das proposições componentes não altera o valor lógico do conjunto, assim, os parenteses poderiam ser removidos, como em P ˄ Q ˄ R, sem gerar ambiguidade.

Distribuição

1) P ˄ (Q ˅ R) ⇔ (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R)

2) P ˅ (Q ˄ R) ⇔ (P ˅ Q) ˄ (P ˅ R)

Esta regra indica que uma conjunção pode distribuir-se em uma disjunção e uma disjunção pode se distribuir em uma conjunção. Isto pode ser ilustrado no seguinte exemplo, onde P se refere a “Pedro acordou”, Q a “Pedro foi à escola” e R  a “Pedro foi à praia”:

1) “Pedro acordou e foi à escola ou foi à praia” ⇔ ”Pedro acordou e foi à escola ou Pedro acordou e foi à praia”

Agora, atribuindo às variáveis P, Q e R, respectivamente, as proposições “Pedro é inteligente”, “Pedro é mau aluno” e “Pedro repetiu de ano”.

2) “Pedro é inteligente ou Pedro é mau aluno e repetiu de ano” ⇔ ”Pedro é inteligente ou é mau aluno e Pedro é inteligente ou repetiu de ano”.

Transposição

P → Q ⇔ ¬Q → ¬P

Esta importantíssima regra de inferência tem relação direta com a regra Modus Tollens; lembre-se que a negação do consequente de uma implicação resulta na negação do antecedente. Portanto, o antecedente e consequente podem ser transpostos contanto que um sinal de negação seja introduzido em ambos.

Ex: “Se Pedro é estrangeiro, então ele não nasceu no Brasil” ⇔ ”Se Pedro nasceu no Brasil, então ele não é estrangeiro”

Implicação Material

P → Q ⇔ ¬P ˅ Q

Serve para mostrar a equivalência entre a condicional e a disjunção

Equivalência Material

P ↔ Q ⇔ (P → Q) ˄ (Q → P)

Uma bicondicional pode ser transformada em duas condicionais.

Exportação/Importação

(P ˄ Q) → R ⇔ P → (Q → R)

De Morgan

¬(P ˄ Q) ⇔ ¬P ˅ ¬Q

¬(P ˅ Q) ⇔ ¬P ˄ ¬Q

A lei de De Morgan, em última análise, se apóia na definição da disjunção em termos da conjunção e na definição da conjunção em termos da disjunção. O que esta regra diz  é que a negação de uma conjunção é a disjunção das negações dos componentes; e a negação de uma disjunção é a conjunção das negações das proposições componentes.

Exemplos:

“É falso que Pedro foi à escola e fez a prova” ⇔ ”Pedro não foi à escola ou Pedro não fez a prova”

“Não é verdade que teremos 1 semana de folga ou uma viagem grátis” ⇔ ”Não teremos 1 semana de folga e não teremos uma viagem grátis”

Não podemos esquecer que a validade das regras de inferência pode ser verificada rapidamente com o uso das tabelas verdade.

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Regras de inferência – Exercícios

Considere um conjunto {T , F}, de dois elementos distintos, T e F .

T e F devem ser entendidos como valores de verdade, significando, respectivamente, verdadeiro e falso (true e false).

Para qualquer conjunto S de fórmulas, entende-se por uma valoração de S uma função v de S no conjunto {T,F}. Isto significa um mapeamento que atribui a cada fórmula φ de S um dos valores do conjunto {T,F}. O valor v(φ) de φ é chamado de valor de verdade de φ ou valoração de φ.

Se v(φ) = T então φ é verdadeira sob a valoração v, e se v(φ) = F então φ é falsa sob a valoração de v.

por que T e F, em vez de V e F, ou ainda, 0 e 1?

A minha escolha pelo uso das dos caracteres T e F é justificada pelas seguintes razões:

A notação que pretendo seguir é uma tentativa de harmonizar a simplicidade com sofisticação, ou seja, não pretendo ser simples de tal maneira que se torne difícil abordar tópicos mais avançados, assim como não pretendo mergulhar em um oceano de cadeias de símbolos quase incompreensíveis. O uso de V e F é dispensado porque o caracter V pode trazer confusão devido à presença do símbolo v(valoração) e também devido ao caracter ˅ da disjunção. É evidente que em texto digitado a diferença é bem clara, mas, pelo costume e para evitar confusões em trabalhos à mão prefiro adotar o caracter T, do inglês true. A questão do costume é importante, pois ao iniciar a leitura de um livro, é crucial se acostumar com a notação do autor, e a maioria dos livros de qualidade especializados em lógica são em inglês e, consequentemente, é necessário lidar com o T e F. Os caracteres 0 e 1 também são dispensados porque são bem menos utilizados que os outros e têm a desvantagem de carregar a conotação booleana do “zero e um” da eletrônica e da computação.

Definição 6 – Valoração Booleana

Seja E o conjunto de todas as fórmulas.

Uma valoração de v em E é dita valoração booleana se, para quaisquer φ e ψ em E, valem as condições:

(i) ¬φ é verdadeira se φ é falsa, e ¬φ é falsa se φ é verdadeira

(ii) Uma fórmula φ ˄ ψ é verdadeira se φ e ψ são ambas verdadeiras; caso contrário φ ˄ ψ é falsa

(iii) Uma fórmula φ ˅ ψ é verdadeira se pelo menos uma das fórmulas é verdadeira; φ ˅ ψ é falsa somente se ambas as fórmulas forem falsas

(iv) Uma fórmula φ → ψ é verdadeira se φ é falsa ou se ψ é verdadeira; a fórmula φ → ψ é falsa somente se φ for verdadeira e ψ for falsa

(v) Uma fórmula φ ↔ ψ é verdadeira se φ e ψ possuírem o mesmo valor de verdade, se não, a fórmula φ ↔ ψ é falsa

Definição 6.1 – Interpretação

Por interpretação de uma fórmula φ entende-se uma atribuição de valores de verdade (uma valoração) a todas as variáveis proposicionais contidas em φ. De modo mais geral, por interpretação de um conjunto W de fórmulas, entende-se uma valoração de todas as variáveis proposicionais que ocorram em quaisquer elementos de W. Daí é fácil perceber que qualquer interpretação i de um conjunto E pode ser estendida a no máximo uma valoração booleana de E. Por outro lado, uma mesma valoração booleana pode corresponder a interpretações diferentes.

Toda variável proposicional deve possuir um, e apenas um, dos valores de verdade. Toda proposição deve ser verdadeira ou falsa.

Tabelas verdade

Para organizar os valores de verdade obtidos com cada conectivo lógico, foi desenvolvido o método das tabelas verdade. Este método é o mais utilizado, devido à sua simplicidade, porém, ele não é livre de defeitos ou limitações.  Cada linha da tabela verdade corresponde a uma interpretação, o número de linhas é determinado pelo número 2ⁿ, onde n é o número de variáveis proposicionais, e este número corresponde exatamente ao número de combinações possíveis dos valores de verdade das proposições. É fácil perceber que o número de linhas aumenta vertiginosamente à medida que se multiplica o número de variáveis, tornando a tarefa impraticável ou tediosa. Enfim, vejamos as tabelas verdade dos conectivos:

Negação

Conjunção

Disjunção

Condicional

Bicondicional

É evidente que as mesmas tabelas verdade seriam obtidas se φ = p e ψ = q, ou seja, se as metavariáveis φ e ψ forem fórmulas atômicas (variáveis proposicionais) obtemos o mesmo resultado. A tabela verdade não é nada mais que uma representação das possibilidades de combinação entre os valores de verdade de fórmulas.

Existem 16 (2²²) funções de verdade, ou combinações, para duas fórmulas φ e ψ.

as funções de verdade podem ser lidas da seguinte forma:

1. (T T T T) tautologia - se φ então φ e se ψ então ψ; (φ → φ) e (ψ → ψ)
2. (T T T F) em palavras: φ ou ψ – (φ ˅ ψ)
3. (T T F T) em palavras: se ψ então φ – (ψ → φ)
4. (T T F F) em palavras: φ - φ
5. (T F T T) em palavras: se φ então ψ – (φ → ψ)
6. (T F T F) em palavras: ψ – ψ
7. (T F F T) em palavras: φ se e somente se ψ - (φ ↔ ψ)
8. (T F F F) em palavras: φ e ψ - (φ ˄ ψ)
9. (F T T T) em palavras: não ambos φ e ψ – ¬(φ ˄ ψ)
10. (F T T F) em palavras: φ ou ψ, mas não ambos – (φ ˄ ¬ψ) ˅ (¬φ ˄ ψ)
11. (F T F T) em palavras: não ψ – ¬ψ
12. (F T F F) em palavras: φ e não ψ - (φ ˄ ¬ψ)
13. (F F T T) em palavras: nao φ – ¬φ
14. (F F T F) em palavras: ψ e não φ – (ψ ˄ ¬φ)
15. (F F F T) em palavras: nem φ, nem ψ – (¬φ ˄ ¬ψ) ou (φ | ψ)
16. (F F F F) contradição – φ e não φ e ψ e não ψ - (φ ˄ ¬φ) e (ψ ˄ ¬ψ)

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Lógica Matemática – Conectivos

Índice de Símbolos

Uma das maiores dificuldades no aprendizado de lógica matemática é conhecer a aparente infinidade de símbolos utilizados na representação de variáveis, conectivos, constantes e operadores. Para unificar a localização e facilitar o entendimento, apresento aqui os símbolos mais comuns e frequentes no simbolismo lógico. A lista não está completa, existem ainda outros, mas estes são os mais comuns.

Símbolos da Lógica

Alfabeto Grego

Alfabeto Grego
Αα	Alpha	Νν	Nu
Ββ	Beta	Ξξ	Xi
Γγ	Gamma	Οο	Omicron
Δδ	Delta	Ππ	Pi
Εε	Epsilon	Ρρ	Rho
Ζζ	Zeta	Σσς	Sigma
Ηη	Eta	Ττ	Tau
Θθ	Theta	Υυ	Upsilon
Ιι	Iota	Φφ	Phi
Κκ	Kappa	Χχ	Chi
Λλ	Lambda	Ψψ	Psi
Μμ	Mu	Ωω	Omega
Caracteres obsoletos
	Digamma		Qoppa
	San		Sampi
Outros caracteres
	Stigma		Sho
	Heta

Nas palavras de van Dalen, o processo de formalização da lógica proposicional consiste em dois estágios:

(1) apresentar uma linguagem formal,

(2) especificar um procedimento para se obter proposições válidas e verdadeiras.

Estes dois estágios complementares podem ser compreendidos analogamente como a definição de um alfabeto e a definição de uma gramática de nossa linguagem, e é isso o que devemos fazer a seguir.

Chamemos de L a nossa linguagem formal.

Definição 1 – alfabeto

A linguagem L tem um alfabeto consistindo de

(i) símbolos proposicionais: p, q, r, s, t … ou p₁, p₂, p₃, …, p_i … onde i ϵ N

(ii) conectivos: ˄ , ˅ , ¬ , → , ↔ , ┴

(iii) símbolos auxiliares: ( , )

Em resumo, uma linguagem formal é constituída pela sintaxe (alfabeto e gramática), semântica, regras de inferência e axiomas. Mas é preciso notar que duas linguagens formais podem ser idênticas mesmo que os alfabetos, por exemplo, sejam diferentes.

Vimos anteriormente que o conectivo ‘e’ pode ser simbolizado também por & e outros símbolos; a escolha dos símbolos varia de autor para autor, sendo limitada apenas por bom senso e convenção. Há também a questão dos conectivos primitivos, isto é, aqueles que são definidos no alfabeto como foi feito agora. Na presente linguagem L, foi generoso na definição, pois usei todos os conectivos que me eram permitidos. Na definição de sistemas formais é muito comum usar menos conectivos primitivos quanto for possível, como por exemplo, apenas os conectivos ˄  e ¬.

Na obra Principiia Mathematica, Russell e Whitehead usaram como primitivos apenas ˅ e ¬. Mas a questão que surge é a seguinte: e os outros conectivos, o que acontece com eles? Em casos assim, os outros conectivos são definidos através dos conectivos primitivos, e isto é perfeitamente cabível, como será discutido em outra ocasião.

Inclusive todos os conectivos são definíveis entre si; esta característica faz com que esses conectivos sejam chamados de completamente funcionais. Por exemplo, o conectivo ˄  pode ser definido em termos de  ˅ e ¬ da seguinte maneira:

(p ˄ q)       é equivalente a     ¬(¬p ˅  ¬q)

Definição 2 – regras de formação

A seguir serão apresentadas as regras de formação de L. Fórmulas são expressões na linguagem; as fórmulas válidas serão chamadas de wff (well-formed formula).

Seja X o menor conjunto de wff‘s

(i) P_i ϵ X (i ϵ N) – uma variável proposicional é uma wff

(ii) φ ϵ X => ¬φ ϵ X

(iii) φ , ψ ϵ  X => (φ ˄ ψ), (φ ˅ ψ), (φ → ψ), (φ ↔ ψ) ϵ X

(iv)  ┴  ϵ  X

(v) todas as wff‘s de L são formadas de acordo com as regras i, ii, iii e iv.

caso não conheça o alfabeto grego, acesso o índice de símbolos

A definição 2 merece algumas explicações.

Em primeiro lugar, a regra (i) diz que proposições como p, q e r, enunciadas isoladamente já são expressões válidas. A partir da regra (ii) foram usadas letras gregas como φ e ψ. Elas devem ser consideradas variáveis proposicionais como p, q, e r? Não. As letras gregas phi, psi e etc. são utilizadas como meta-variáveis, ou seja, símbolos que utilizamos para nos referir às variáveis proposicionais p, q, etc. Assim, φ pode se referir tanto a uma simples variável proposicional p, quanto a uma fórmula complexa como (p ˅ q) ↔ (( p ˄ r) → q). Usamos as variáveis p, q (…) para simbolizar proposições sobre objetos do mundo real; indo um nível acima, utilizamos as meta-variáveis φ, ψ (…) para simbolizar proposições sobre proposições. O símbolo => tem o mesmo papel, e deve ser entendido como um “se… então”, assim como o →.

A regra (ii) afirma que se φ é uma expressão válida na linguagem, sua negação também é, ou seja, se p é uma wff, ¬p também é. A regra (iii) nos ensina que duas wff’s podem ser relacionadas entre si com qualquer um dos conectivos. O símbolo ┴ que já estava presente na definição 1 é o falsum (absurdum) que representa o absurdo, uma contradição, é útil em muitos casos e, de acordo com a regra (iv), ele sozinho já é uma wff.

A última regra é conhecida como Fechamento, o que ela significa é que estas são as únicas formas de se construir uma expressão válida na linguagem, qualquer procedimento distinto desses produz uma fórmula inválida na linguagem L.

As regras de formação poderiam ser enunciadas informalmente da seguinte maneira:

(i) uma variável proposicional é uma fórmula

(ii) se uma expressão é uma fórmula, então sua negação também é uma fórmula

(iii) dadas duas expressões quaisquer que sejam fórmulas, então a conjunção, a disjunção, a implicação e a equivalência material destas duas expressões são fórmulas.

(iv) o símbolo da contradição é uma fórmula

(v) os procedimentos de i a iv são os únicos que produzem fórmulas

Conceitos avançados

A seguir vou apresentar conceitos mais avançados, para aqueles que estejam interessados em um aprofundamento no assunto. Contudo, as noções seguintes não são indispensáveis, pode-se passar para os próximos artigos sem aprender explicitamente estes conceitos. Evidentemente, ignorar este conteúdo proporcionaria um conhecimento apenas superficial.

Definição 3 – Subfórmula

A noção de subfórmula imediata é dada pelas seguintes condições:

(i) variáveis proposicionais não têm subfórmulas imediatas

(ii) ¬φ tem φ como subfórmula imediata

(iii) as fórmulas do tipo φ □ ψ tem como subfórmulas imediatas φ e ψ

obs: o símbolo □ também faz parte da metalinguagem e denota qualquer um dos conectivos binários (→, ↔, ˄, ˅)

exemplos:

(i) a subfórmula imediata de p é p

(ii) a subfórmula imediata de ¬(p → q) é (p → q)

(iii) (p ˄ q) → (p ˅ q) tem como subfórmulas imediatas as fórmulas (p ˄ q) e (p ˅ q); e estas, por sua vez, tem as variáveis p e q como subfórmulas imediatas

Definição 3.1

A noção geral de subfórmula é implicitamente definida pelas regras:

(i) Se φ é uma subfórmula imediata de ψ, ou se φ é idêntica a ψ, então φ é uma subfórmula de ψ

(ii) Se φ é uma subfórmula de ψ e ψ é uma subfórmula de ϕ, então φ é uma subfórmula de ϕ

As únicas fórmulas que não possuem subfórmulas imediatas são as variáveis proposicionais, por esta razão são conhecidas como fórmulas atômicas. As demais são conhecidas como fórmulas compostas.

Definição 4 – Graus e Princípios de Indução

Para facilitar as provas e definições indutivas, definimos o grau de uma fórmula como o número de ocorrências de conectivos lógicos nela.

(i) P_i (i ϵ N) tem grau zero

(ii) Se φ tem grau n, então ¬φ tem grau n+1

(iii) Se as fórmulas φ e ψ tem, respectivamente, graus n e m, então φ □ ψ tem grau n+m+1

Definição 5 – Indução Matemática

Seja S um conjunto de fórmulas e P uma certa propriedade que queremos mostrar que vale para todo elemento de S; para isso, as seguintes condições devem ser satisfeitas:

(i) todo elemento de S de grau zero possui a propriedade P

(ii) Se algum elemento de S de grau maior que zero não tiver a propriedade P, então algum elemento de grau inferior não tem a propriedade P.

Continua em

Lógica Matemática – Semântica

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2. DEFINIÇÃO

Há aqueles que acham reconfortante dizer que os enunciados analíticos da segunda classe se reduzem àqueles da primeira classe, as verdades lógicas, por definição; “solteiro”, por exemplo, é definido como “homem não-casado”. Mas como nós descobrimos que “solteiro” é definido como “homem não-casado”? Quem definiu assim, e quando? Será que vamos apelar para o dicionário mais próximo, e aceitar a formulação do lexicógrafo como uma lei? Claramente isso seria pôr a carroça à frente dos burros. O lexicógrafo é um cientista empírico, cuja tarefa é registrar fatos antecedentes; e se ele explica “solteiro” como “homem não-casado” é devido à sua crença de que há uma relação de sinonímia entre essas formas, implícita em geral ou de uso estabelecido anteriormente ao seu trabalho. A noção de sinonímia pressuposta aqui ainda precisa ser esclarecida, presumivelmente em relação ao comportamento linguistico. Certamente a “definição” que é o relato de um lexicógrafo de uma sinonímia observada não pode ser considerada o fundamento da sinonímia.

A definição não é, de fato, uma atividade exclusiva de filólogos. Filósofos e cientistas frequentemente tem ocasiões para “definir” um termo recôndito parafraseando-o em termos de um vocabulário mais familiar. Mas ordinariamente tal definição, como a do filólogo, é pura lexicografia, afirmando uma relação de sinonímia antecedente à exposição do momento.

O que significa afirmar uma sinonímia, e que interconexões podem ser necessárias e suficientes a fim de descrever duas formas linguisticas como sinônimas, ainda está pouco claro; mas, quaisquer que sejam essas interconexões, ordinariamente elas se fundam no uso. Definições que relatam instâncias específicas de sinonímia surgem então como relatos do uso comum.

Há também, entretanto, um tipo diferente de atividade definitória que não se limita a relatar sinônimos pré-existentes. Eu tenho em mente aquilo que Carnap chama de explicação — uma atividade à qual os filósofos se dedicam, e também cientistas em seus momentos mais filosóficos. Na explicação o propósito não é meramente parafrasear o definiendum em um sinônimo completo, mas na verdade aperfeiçoar o definiendum refinando ou complementando seu significado. Mas até a explicação, embora não meramente relate uma sinonímia entre o definiendum e o definiens, não repousa em outros sinônimos pré-existentes. A questão pode ser vista do seguinte modo: Qualquer palavra que valha a pena ser explicada possui alguns contextos nos quais é clara e precisa o suficiente para ser útil; e o proprósito da explicação é preservar o uso desses contextos enquanto aperfeiçoa o uso em outros contextos. A fim de que uma dada definição seja adequada para os propósitos da explicação, então, o que é requerido é que o definiendum em seu uso anterior seja sinônimo não do definiens, mas desses contextos favorecidos do definiendum, seja sinônimo com o contexto correspondente ao definiens.

Dois definientia alternativos podem ser igualmente apropriados para os propósitos de uma determinada tarefa de explicação e ainda não serem sinônimos um do outro; já que eles podem servir intercambiavelmente nos contextos favorecidos, mas divergir em outros. Se apegar a um desses definientia mais do que ao outro, a definição do tipo explicativo gera, por decreto, uma relação de sinonímia entre o definiendum e definiens que não estava presente antes. Mas tal definição ainda deve sua função explicativa, como vimos, a sinonímias pré-existentes.

Porém, ainda permanece um tipo extremo de definição que não retorna às sinonímias originais; a saber, a introdução convencional explícita de notações para propósitos de abreviação completa. Aqui o definiendum se torna sinônimo do definiens simplesmente porque foi criado expressivamente com o objetivo de ser sinônimo do definiens. Aqui nós temos um caso realmente transparente de sinonímia criada por definição; quem dera todas as espécies de sinonímia fossem inteligíveis deste modo. Para o restante, a definição repousa na sinonímia em vez de explicá-la.

A palavra “definição” porventura possui um som perigosamente tranquilizante, sem dúvida se deve a isto a sua frequente ocorrência em escritos lógicos e matemáticos. Nós devemos agora embarcar em uma digressão na análise do papel da definição no trabalho formal.

Em sistemas lógicos e matemáticos um dos dois mutuamente antagônicos tipos de economia devem ser buscados, e cada um tem sua utilidade prática peculiar. Por um lado nós podemos buscar a economia da expressão prática: facilidade e brevidade no enunciado de diversas relações. Este tipo de economia normalmente pede notações concisas e distintivas para uma multiplicidade de conceitos. Em segundo lugar, entretanto, e em contraste, nós podemos buscar economia na gramática e no vocabulário; nós podemos tentar encontrar um mínimo de conceitos básicos tais que, uma vez que uma notação distintiva é apropriada para cada um deles, se torna possível expressar qualquer conceito desejado por mera combinação e iteração de nossas notações básicas. Esse segundo tipo de economia é pouco prático em um sentido, desde que a pobreza em idiomas básicos tende a um prolongamento necessário do discurso. Mas é prático em outro sentido: o discurso teórico sobre a linguagem é simplificado, ao minimizar os termos e as formas de construção nas quais a linguagem consiste.

Ambos os tipos de economia, embora à prima facie sejam incompatíveis, são valiosos em seus meios distintos. O costume consequentemente surgiu da combinação de ambos os tipos de economia ao se fundir duas linguagens, sendo uma parte da outra. A linguagem inclusiva, embora redundante na gramática e vocabulário, é econômica no comprimento das mensagens, enquanto a parte, chamada de notação primitiva, é econômica na gramática e no vocabulário. O todo e a parte são correlacionados por regras de translação onde cada idioma que não esteja na notação primitiva é equacionado a algum complexo construído a partir de uma notação primitiva. Essas regras de translação são as chamadas definições que aparecem em sistemas formalizados. Elas são melhor vistas não como adjuntos a uma linguagem, mas como correlações entre duas linguagens, sendo uma parte da outra.

Mas essas correlações não são arbitrárias. Elas devem mostrar como as notações primitivas podem cumprir todos os propósitos, resguardar a brevidade e conveniência, da linguagem redundante. Então pode-se esperar que o definiendum e seu definiens, em cada caso, se relacionem de uma das três formas destacadas. O definiens pode ser uma paráfrase confiável do definiendum em uma notação mais simples, preservando a sinonímia direta de acordo com o uso anterior; ou o definiens pode, no espírito da explicação, aperfeiçoar-se sobre o uso anterior do definiendum; ou finalmente, o definiendum pode ser uma nova notação criada, dotada de um novo significado aqui e agora.

No trabalho formal e informal, então, nós descobrimos que a definição – exceto no caso extremo de introdução convencional explícita de nova notação – depende de relações anteriores de sinonímia. Reconhecendo então que a notação de definição não carrega a chave para a sinonímia e analiticidade, vamos olhar mais a fundo na sinonímia e não falar mais sobre definição.

3. INTERCAMBIALIDADE

continua…

No artigo anterior foram introduzidas as proposições compostas, que são enunciados que são formados por proposições simples. Estas proposições simples são ligadas por conectivos e, juntas, formam a proposição composta. Por sua verdade depender somente dos valores de verdade das proposições componentes, a proposição composta é uma função de verdade de suas componentes, dessa forma, também é chamada de vero-funcional. Proposições vero-funcionais são de importância fundamental na lógica.

Conhecemos muitos conectivos na língua natural, por exemplo:
e, ou, não, se… então, mas, pois, como, por, embora, nem.

Esta lista de maneira nenhuma pretende ser exaustiva.

Alguns desses conectivos que usamos no discurso usual também são utilizados pela lógica em linguagens formais, contudo, nem todos são necessários ou adequados à lógica matemática, pois muitos deles possuem uma função semântica semelhante ou idêntica, ambígua, ou não são vero-funcionais. Por razões de economia e exatidão, normalmente apenas 5 conectivos são usados em sistemas dedutivos da lógica formal.

Os conectivos que usaremos são os seguintes:

não

e

ou

se… então

… se e somente se…

Entretanto, é preciso justificar esta escolha e mostrar por que ela é adequada. Compare, por exemplo, as seguintes proposições:
“π é irracional, mas não é algébrico“,
“Marcos é pobre mas não assaltou o mercadinho“

No segundo enunciado fica clara a idéia de contraste entre as proposições componentes, isto é, parece haver uma sugestão de que deveríamos nos surpreender que Marcos não é um assaltante. No primeiro enunciado essa sugestão também acontece, mas é menos evidente, a menos que tenhamos acabado de ler que todos os irracionais são algébricos. Os lógicos, na escolha dos conectivos a compor uma linguagem formal, se perguntaram que vantagem traria admitir conectivos que carregassem certos tons vagos ou emocionais. É evidente que isso contribuiria para o obscurecimento da forma lógica das proposições, exatamente o contrário da intenção que se tem ao formular linguagens formais. Por esse motivo vários conectivos da língua natural foram excluídos. O ‘mas’ funciona como o conectivo ‘e’, portanto, “Marcos é pobre mas não assaltou o mercadinho” tem o mesmo valor semântico de “Marcos é pobre e não assaltou o mercadinho”.

Apesar de haver essa escolha rigorosa de conectivos, ainda assim os cinco conectivos da nossa linguagem apresentam comportamentos distintos na linguagem ordinária, e a lógica estabelece um funcionamento mais rígido para todos esses conectivos a fim de manter a precisão na linguagem, observe  as seguintes sentenças:

1. “Eles se casaram e tiveram um filho”

2. “Eles tiveram um filho e se casaram”

3. “Se eu abrir a janela então teremos ar fresco”

4. “Se eu abrir a janela então 2+2=4″

5. “Se eu abrir a janela então 1+2=5″

6. “João está trabalhando ou está em casa”

7. “Sócrates foi um grego ou um filósofo”

Observando as sentenças 1 e 2, podemos ver que o conectivo ‘e‘ pode adquirir uma conotação temporal na linguagem ordinária. A proposição “Eles se casaram e tiveram um filho” nos passa a impressão imediata de que o casal teve um filho após o casamento, enquanto a proposição 2 sugere justamente o inverso. Na lógica formal e na matemática esta conotação temporal desaparece. Então “Eles se casaram e tiveram um filho“, “f(x) é crescente e x é maior do que 2” e “joão foi à padaria e maria foi ao cinema” não possuem qualquer sugestão de ordenação temporal, isto é, apenas afirma-se que ambas as partes se verificam independentemente do tempo em que ocorreram (a menos que haja uma referência explícita ao tempo na própria proposição, é claro).

Os exemplos 3 a 5 consideram a implicação (ou condicional). Na linguagem ordinária assumimos que em uma implicação deve haver uma relação (causa e efeito por exemplo) entre o antecedente e o consequente,  e por isso o exemplo 3 é comumente aceito como verdadeiro. O mesmo não ocorre com os exemplos 4 e 5, na linguagem comum eles seriam rejeitados como falsos ou desprovidos de sentido. Mas do ponto de vista da lógica, uma relação entre o antecedente e o consequente da condicional não é necessária. Há vários motivos para isso, um deles é que os significados deveriam ser deixados de fora de considerações sintáticas. Se não fosse assim, a sintaxe seria difícil de ser manipulada e não haveria como saber de antemão como avaliar a derivabilidade das proposições e cairíamos em uma prática esotérica de casos excepcionais. Esta implicação “mais generalizada” da lógica é conhecida como implicação material. Porém, existem sistemas lógicos que consideram a relevância em expressões condicionais, assim como outros sistemas consideram outros tipos de implicações… a mais comum realmente é a implicação material.

Finalmente, os exemplos 6 e 7 mostram o uso do conectivo ‘ou‘. Tendemos a aceitar 6 e a rejeitar 7. Na maioria das vezes pensamos no ‘ou’ como exclusivo. Na proposição 6 até certo ponto esperamos que João não trabalhe em casa, e em 7, apesar de ser uma proposição verdadeira, ela é repudiada pois é incomum e artificial usar um ‘ou’ quando na verdade poderíamos usar o conectivo ‘e’, isto provém da máxima conversacional de que “não devemos fazer uma asserção mais fraca quando poderíamos fazer uma mais forte”. Além disso, não costumamos usar o conectivo ‘ou’ quando já sabemos qual das opções é verdadeira, “32 é par ou o Brasil é um país europeu” seria considerada artificial. Na lógica, são legítimos e de igual importância todos esses usos considerados supérfluos pela linguagem ordinária.

A seguir examinaremos a fundo os conectivos, não apresentarei suas respectivas tabelas-verdade por enquanto, isto será discutido 2 artigos à frente, quando for introduzida a semântica da linguagem.

clique aqui se estiver ansioso para ver as tabelas verdade dos conectivos

Os Conectivos

1. Conjunção

O conectivo ‘e’ é conhecido como conjunção. A notação utilizada depende muito do autor do livro, sendo estas as mais comuns:  ^, • , &.

Na linguagem que formularei usaremos o símbolo ^.

A conjunção é um operador binário, ou seja, opera duas proposições de cada vez. Entretanto, uma proposição composta pode ter duas ou mais componentes, não havendo nenhum limite para isso. Por ser um conectivo vero-funcional, as proposições compostas que o contém dependem inteiramente do valor-verdade das expressões componentes.

Seja φ a proposição “Pedro é brasileiro e Johann é alemão” (p ^q).

φ é uma proposição composta vero-funcional que será verdadeira somente quando as duas expressões componentes, “Pedro é brasileiro”(p) e “Johann é alemão”(q), forem verdadeiras. Esta é a condição de verdade da conjunção. É bom observar que a conjunção não liga somente proposições simples, mas também pode ligar proposições compostas:

Seja φ a proposição usada anteriormente, e ψ a proposição “O Brasil é um país emergente e a Alemanha está em recessão” (r ^ s), podemos fazer uma conjunção entre as duas proposições compostas, assim temos φ ^ ψ, ou seja, (p ^q) ^ (r ^ s),cujo valor de verdade, em última análise, depende dos valores variáveis proposicionais p, q, r e s.

caso não conheça o alfabeto grego, acesse o índice de símbolos

Observação:
Muitos casos nos quais o ‘e’ aparece não entre proposições, mas entre elementos intra-proposicionais, são também proposições compostas da forma p ^ q, por exemplo: “Pedro e Maria são loiros” tem a forma “Pedro é loiro e Maria é loira”, neste caso o ‘e’ entre os sujeitos funciona como uma forma abreviada da segunda proposição. Há, porém, um segundo significado do conectivo ‘e’, como em “Pedro e Maria conversam”; esta proposição não pode ser decomposta em “Pedro conversa e Maria conversa”, pois se trata de uma proposição relacional entre dois termos singulares. Além destas existem outras formas semânticas do conectivo ‘e’ que tornariam esta observação demasiadamente longa.

2. Negação

O mais simples dos operadores é a negação, normalmente ela é representada pelos símbolos ¬ e ~ .Em linguagem natural alguém poderia expressar uma negação dizendo antes de uma frase “é falso que”, “não é o caso que” ou colocando o “não” antes do verbo principal da proposição, mas existem outras diversas formas de se negar um enunciado.

Seja p a proposição “Todos os humanos são mortais”, assim, as proposições “Nem todos os humanos são mortais”, “Alguns humanos não são mortais”, “É falso que todos os humanos são mortais” são indiferentemente simbolizados por ¬p.

É preciso ter atenção neste ponto, pois alguém pode ter a impressão de que as negações de p são somente “Todos os humanos não são mortais”, “Nenhum humano é mortal” ou “É falso que todos os humanos são mortais”.
Esses enunciados também negam a proposição p, mas, como é discutido exaustivamente na lógica aristotélica, bastaria um único caso para contrariar a afirmação “Todos os humanos são mortais”, dessa forma “Alguns humanos não são mortais” também é uma negação de p.

A negação inverte o valor de verdade de uma proposição, isto é, se ela for verdadeira, se torna falsa; e se ela for falsa, se torna verdadeira. A negação é um operador unário, ou seja, aplica-se somente a uma fórmula, em vez de ligar duas fórmulas como os outros operadores. Assim somente expressões como ¬p, ¬(p ˅ q), ¬((p ˅ q) ˄ ¬(p ˄ q)), são válidas. Expressões como p ¬˄ q ou p ¬q são incorretas e sem sentido de acordo com as regras de formação da linguagem.

3. Disjunção

A disjunção é o conectivo ‘ou’. Seu símbolo normalmente usado é o ˅, que não deve ser confundido com a letra v. A palavra ‘ou’ tem dois significados distintos, como veremos ao analisar a proposição “Os clientes tem direito a um café ou biscoito após a sessão”. O conectivo ‘ou’ pode interpretado como inclusivo e como exclusivo, normalmente isso é decidido de acordo com o contexto. Ou seja, espera-se que os clientes possam escolher um café, um biscoito, ou ambos. Neste caso o ‘ou’ é inclusivo. Se quem oferece as guloseimas for avarento, pode ser o caso que os clientes só tem direito a uma das opções, e neste caso o ‘ou’ seria exclusivo.

A proposição “O bandido está morto ou conseguiu escapar vivo” apresenta o ‘ou’ exclusivo da forma mais explícita possível. Em lógica utilizamos o ‘ou’ inclusivo, a menos que seja indicado o contrário. Dessa forma, a condição de verdade do conectivo ˅ é que para a proposição composta ser verdadeira pelo menos um dos componentes deve ser verdadeiro.

4. Implicação Material

Este é o conectivo mais complexo e polêmico de nossa linguagem formal, tanto que existem capítulos e livros inteiros dedicados inteiramente a ele. Procurarei fazer uma abordagem elucidativa o suficiente para evitar confusões, e, ao mesmo tempo, não me prolongar demais neste assunto.

A implicação material, também conhecida como condicional, ocorre quando há a partícula ‘se’ seguida por uma proposição p, que por sua vez é seguida por um ‘então’ e outra proposição q. A forma padrão é “Se p então q”, como na frase “Se chover, então levarei o guarda-chuva”. A proposição que segue o ‘se’ é chamada antecedente, e a que segue o ‘então’ é chamada consequente. O símbolo que usaremos para a implicação material é →. Exemplo: p → q

O que a implicação afirma é que sempre que o antecedente é verdadeiro, o consequente é verdadeiro. A implicação não afirma que o consequente é verdadeiro somente se o antecedente for verdadeiro; dessa forma, digamos que pedro disse que “se chover, então levarei o guarda-chuva” mas não choveu e mesmo assim ele levou o guarda chuva. Isso não tornaria a sua proposição condicional falsa, porque ela seria falsa somente no caso de chover e ele não levar o guarda-chuva. Assim chegamos à condição de verdade da implicação:
a implicação material é verdadeira sempre que não é o caso que o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.

Ou seja, a implicação é verdadeira em 3 dos 4 casos possíveis:

Quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é verdadeiro.

Quando o antecedente é falso e o consequente é verdadeiro.

Quando o antecedente é falso e o consequente é falso.

A implicação é falsa somente se o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.

Isto satisfaz as pretensões da lógica, mas existem muitos outros usos:

1. “Se todos os homens são mortais e Sócrates é homem,
então Sócrates é mortal”

2. “Se Pedro é solteiro, então pedro não é casado”

3. “Se o esta amostra de Cloro for diluída nesta solução,
então a solução terá PH neutro”

4. “Se o Flamengo perder o campeonato, então eu engulo o meu boné”

5. “Se a madeira fosse um metal, ela seria maleável”

6.”Se ele estava embaraçado, ele não se mostrou como tal”

A discussão completa de todos esses tipos (que não são todos os possíveis) talvez ultrapasse largamente os propósitos desse artigo, então somente indicarei as sutis diferenças entre cada um dos exemplos.

A implicação na proposição 1 é do tipo “implicação lógica”, que é a mesma presente em inferências e silogismos. O consequente segue logicamente do antecedente.  Na proposição número 2, o consequente resulta do antecedente através da própria definição de “solteiro”, ou seja, é uma proposição analítica, baseia-se na idéia de analiticidade. Na proposição 3 o consequente não segue do antecedente por necessidade lógica nem pela definição dos seus termos, mas por uma relação causal empírica, ou seja, descoberta pela experiência, entre o antecedente e o consequente. Em 4, o consequente não segue do antecedente por nenhuma das razões anteriores, e definitivamente não há nenhuma lei ou regra que conecte o antecedente com o consequente. Então esta proposição expressa uma simples decisão arbitrária do agente em se comportar daquela determinada maneira. Na proposição 5 temos uma implicação do tipo contrafactual, que é equivalente a uma implicação com antecedente e consequente falsos: “se a madeira é um metal, ela é maleável”. A proposição 6 tem condições de verdade diferentes da implicação material e, por isso, simplesmente não é uma implicação material.

A implicação material age como uma generalização de todos os tipos de implicação, e para tanto precisa ignorar alguns aspectos adicionais destes outros tipos. Contudo, a validade dos argumentos a serem tratados pela nossa linguagem será preservada mesmo que ignoremos esses aspectos adicionais de algumas condicionais.

Condição necessária e Condição suficiente

Estas são duas noções muito importantes para a compreensão da implicação.

Condição necessária é aquela que sempre deve ser satisfeita para que X seja verdadeiro. Condição suficiente é aquela que basta para que X seja verdadeiro. Um exemplo esclarecerá essa distinção de uma vez por todas:

“Se eu visito a torre Eiffel, então estou em Paris“

O antecedente da condicional é uma condição suficiente para eu estar em paris, evidentemente não é única. Por outro lado, estar em Paris é condição necessária para eu visitar a torre Eiffel, pois é impossível visitar a torre Eiffel sem estar em Paris. O antecedente de uma implicação qualquer é sempre a condição suficiente, e o consequente é sempre a condição necessária. Isto deve ser respeitado, caso contrário, a condicional sempre poderá ser falsa ou resultar em falácia.

5. Equivalência Material

O nosso último conectivo é o ‘… se e somente se…‘ e é representado pelo símbolo ↔. A equivalência material também é conhecida como bicondicional. A condição de verdade do bicondicional é simples: a proposição contendo um bicondicional é verdadeira sempre que o antecedente e o consequente tiverem o mesmo valor de verdade. Considere a proposição “O limite de f(x) existe se e somente se seus limites laterais são iguais”, isto quer dizer que se p,”o limite de f(x) existe” for verdadeiro, q “seus limites laterais são iguais” também é verdadeiro; e vice-versa. De maneira análoga, se p for falso, q é falso também, e vice-versa. A equivalência material também pode ser interpretada como uma implicação que funciona em ambos sentidos, ou seja, o p implica q e q implica p.

Continua em

Lógica Matemática – Sintaxe

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Lógica Matemática – Introdução

Os raciocínios indutivos, como costuma-se dizer, partem do particular para o geral; e os dedutivos, do geral para o particular. Mas este contraste parece não nos comunicar muita coisa, o que realmente se quer dizer com “do particular para o geral” e vice-versa?

Imagine que um homem que se dedica a estudar a natureza encontrou um cisne pela primeira vez. Encantado pela alvura de sua beleza, indagou se todos os cisnes eram brancos daquela maneira. Então investigou: “estes dois cisnes são brancos”; mais tarde descobriu: “este outro cisne é branco e os cisnes do lago do norte também o são!”; e daí chegou a uma conclusão: “Todos os cisnes são brancos!”; esta foi uma forma de raciocínio indutivo, pois a partir de alguns casos particulares inferiu-se que certa propriedade aplicava-se a todos da mesma espécie. A conclusão de alguma forma “dá um salto”, porque continua aberta a possibilidade lógica de existirem cisnes verdes ou rosas em algum outro lugar do mundo. A conclusão, portanto, é falível, e bastaria um exemplar de cisne de outra cor para desmoronar a ideia de que os cisnes são brancos.

Devido a este famoso Problema da Indução, a lógica (no sentido estrito) não trabalha com raciocínios indutivos. Eles não fornecem fundamentos confiáveis para as conclusões que advogam, e isto entra em conflito direto com o propósito da lógica, que é estabelecer princípios e regras gerais do pensamento e raciocínio correto.

Assim, os raciocínios dedutivos são o objeto da lógica. Eles são muito mais elegantes pois fornecem conclusões devidamente sustentadas se a relação entre as premissas e conclusão for válida. Vejamos dois exemplos:

Todos os homens são mortais
Sócrates é homem
Logo, Sócrates é mortal

Nenhum círculo tem uma hipotenusa. Então, nenhum triângulo retângulo é um círculo, já que todos os triângulos retângulos têm uma hipotenusa.

Em ambos o raciocínio parte de afirmações universais sobre determinadas classes de objetos e então deduz uma proposição que se aplica a qualquer caso particular pertencente à uma das classes referenciadas. No caso dos homens mortais, se sócrates está dentro da classe Homens, ele possui as propriedades características dos homens, então é mortal. No caso dos objetos geométricos, se nenhum círculo tem a propriedade x, que pertence a todos os triangulos, então o conjunto de triângulos e o conjunto de círculos são absolutamente estranhos um ao outro. Pode-se imaginar dois conjuntos que estão separados e não tem interseção entre si. (repare que no segundo exemplo a conclusão e as premissas não estão na ordem padrão, algo muito comum na linguagem cotidiana)

A lógica clássica foi edificada por aristóteles  em sua grande obra Organon, um conjunto de seis textos que versam sobre a natureza dos nomes, frases, formas de inferência, falácias, etc.  A lógica de Aristóteles foi precisa. Durante mais de dois mil anos nada foi modificado ou adicionado a ela, e como Kant afirmou, Aristóteles a concebeu pronta e perfeita. Apesar de possuir limitações em certo sentido, não existe nenhuma inconsistência ou contradição interna. Até fins do séc. XIX a silogística foi o melhor e único método sistemático para a análise crítica da argumentação.

A importância do Silogismo reside em seu método sistemático de análise de um conjunto de proposições e em sua função como fundamento dos desenvolvimentos modernos da lógica em ciências como computação, matemática, engenharia e linguistica.

Classes

A lógica clássica lida principalmente com argumentos que são baseados em relações entre classes de objetos. A idéia de classe pode ser compreendida intuitivamente como uma coleção de objetos que possuem uma determinada característica em comum. Três modos de relação entre classes são possíveis:

1. Todos os objetos de uma classe podem estar incluídos em outra classe. Então a classe de cães está completamente incluída na classe de mamíferos.
2. Alguns, mas não todos, membros de uma classe podem estar incluídos em outra classe. Então a classe de todos os atletas está parcialmente incluída na classe de mulheres.
3. Duas classes podem não possuir membros em comum. Assim a classe de todos os triângulos e a classe de todos os círculos estão excluídas entre si.

Estas três relações podem ser aplicadas a classes ou categorias de qualquer natureza. Em um argumento dedutivo nós enunciamos proposições que apresentam as relações entre uma classe e outra. Aqui chegamos a uma noção importante: as proposições que formam essas inferências são chamadas de proposições categóricas.

Considere a seguinte inferência:

Nenhum atleta é vegetariano
Todos os jogadores de futebol são atletas
Então nenhum jogador de futebol é vegetariano.

A inferência contém três proposições categóricas. A verdade das premissas (as duas primeiras proposições) poderia ser discutida, mas o modo pleo qual a relação entre as classes foi realizada caracteriza o argumento como válido. Se um argumento tem uma forma válida e, se suas premissas são verdadeiras, então a conclusão deve (tem que) ser verdadeira. É esta necessidade que caracteriza os argumentos dedutivos válidos, no caso dos inválidos esta necessidade simplesmente não existe e às vezes nem existe uma ligação racional entre as premissas e a conclusão.

Sobre as proposições do argumento cada uma afirma ou nega que alguma classe S é incluída em outra classe P, total ou parcialmente.  O próximo passo para entender a teoria da dedução é identificar os tipos de proposições.

Avaliando o argumento:

A primeira premissa diz que nenhum atleta é vegetariano, dessa forma a classe de vegetarianos e atletas são completamente distintas, logo, tudo o que está na categoria de atletas não é vegetariano (e tudo o que está na categoria de vegetarianos não é atleta). A segunda premissa afirma que a classe de jogadores de futebol está completamente incluída na classe de atletas. Como tudo o que está na classe de atletas não é vegetariano, conclui-se que nenhum jogador de futebol é vegetariano.

O argumento é válido pois a conclusão segue-se das premissas.

Mas a primeira premissa é evidentemente falsa, certamente existem atletas vegetarianos! Então o argumento é demolido e percebemos que a conclusão revelou-se falsa. Este é um exemplo de um silogismo válido com uma premissa falsa, uma premissa verdadeira e uma conclusão falsa.

Os Tipos de Proposições Categóricas

Existem quatro e somente quatro tipos de proposições categóricas na forma padrão:

1. Todo político é mentiroso
2. Nenhum político é mentiroso
3. Algum político é mentiroso
4. Algum político não é mentiroso

1. Proposição Universal Afirmativa
São proposições que afirmam que o todo de uma classe está incluído ou contido em outra classe. Toda proposição deste tipo é expressa por

Todo S é P

onde S e P representam o sujeito e o predicado, respectivamente. Todos os membros de S estão incluídos em P. Proposições deste tipo são chamadas de A.

2. Proposição Universal Negativa
“Nenhum político é mentiroso” é uma proposição que nega universalmente que qualquer um dos membros da classe de Políticos esteja incluído na classe de Mentirosos. É afirmado que a classe sujeito S é completamente excluída da classe predicado P.

Nenhum S é P

Esta proposição nega a relação de inclusão ou interseção entre duas classes. Essa proposição é do tipo E.

3. Proposição Particular Afirmativa
No terceiro exemplo a proposição afirma que alguns membros da classe Políticos fazem parte da classe mentirosos. Mas ela não o afirma universalmente. Esta proposição não afirma ou nega nada sobre todos os políticos. Em lógica esta distinção é importante. O que esta proposição afirma realmente é que existe um ou mais membros em comum entre as duas classes.

“Algum” é um termo indefinido. E tudo que é indefinido é problemático quando o assunto é lógica. Um pouco mais de atenção será necessária neste ponto.

Em português “algum” e “alguns” parecem claramente possuir significados diferentes, mas isto é certo? “Algum” significa “um elemento indefinido e único” e “alguns” significa “vários elementos indefinidos”? Devo discordar da primeira hipótese. É verdade que existe uma sugestão psicológica de que o pronome no singular denota um único objeto, mas, sob a perspectiva da lógica, nada exclui a possibilidade de haver mais de um objeto.

Por exemplo, a casa de Pedro foi invadida e objetos de valor foram levados. Mais tarde em depoimento à polícia, ele afirma que “algum ladrão entrou e levou minhas pinturas”. O policial e Pedro provavelmente reconhecem que apesar de ter sido usado o pronome no singular na frase é possível que vários criminosos tenham participado do roubo. Evidências empíricas poderiam mostrar que apenas uma pessoa esteve lá, desse modo sustentando o “algum”, mas isso é outro caso. Acontece que na total desinformação, o “algum” pode se referir a um ou muitos.

Então, assumindo que “algum” pode significar um ou vários, podemos compreender a escolha dos lógicos de querer dizer “ao menos um”, “pelo menos um”, com as proposições particulares afirmativas.

Algum S é P

Proposições desta forma são proposicões do tipo I.

4. Proposição Particular Negativa
Como no caso anterior, esta proposição não se refere universalmente à classe de Políticos, mas a algum ou alguns membros daquela classe. É uma proposição particular. Mas diferentemente da proposição I, o que é afirmado é que algum membro da classe Políticos não está na classe Mentirosos.

Algum S não é P

Isto significa que ao menos um membro de S não é membro de P.
Proposições categóricas deste tipo são chamadas O.

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Quem olha pela primeira vez para os silogismos, talvez tenha a impressão de que ele e suas proposições são um pouco artificiais, pois dificilmente na vida cotidiana alguém raciocina desse modo tão rígido. A respeito dessa impressão, vale a pena citar Howard Gardner, em A Nova Ciência da Mente:

“(…) [O silogismo] era considerado por Aristóteles como o âmago da lógica. Ele é usado irrefletidamente por indivíduos comuns como parte de sua experiência cotidiana; e como Johnson-Laird mostra com muita habilidade, até mesmo os críticos que desejam diminuir a importância dos silogismos recorrem a eles. Poder-se-ia dizer: ‘Os silogismos são artificiais”. Além disto: ‘Os psicólogos não deveriam estudar coisas que são artificiais’. Portanto: ‘Os psicólogos deveriam estudar os tipos de inferência que são usados regularmente na vida cotidiana’. No próprio ato da rejeição ao silogismo, esta crítica usou um raciocínio silogístico.”

Este primeiro contato com os silogismos termina aqui, no próximo artigo será discutida a quantidade e qualidade das proposições, assim como a caracterização dos termos das premissas.

Resumo

Forma                       Tipo

Todo S é P                 A

Nenhum S é P           E

Algum S é P               I

Algum S não é P       O

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Argumentos, Silogismo e a Forma Lógica

Uma das linguagens formais mais importantes da lógica é o cálculo proposicional. Geralmente é o primeiro a ser ensinado a iniciantes em lógica matemática. O objetivo do cálculo proposicional é representar as proposições através de variáveis e abstrair da linguagem ordinária as propriedades de certos conectivos sentenciais. Antes de explicar o que são exatamente ‘conectivos’, devemos deixar clara a noção de proposição.

Antes de entrar na simbologia da lógica, será útil e instrutivo empreender uma exposição conceitual.

Proposição não é o mesmo que ‘frase’. Uma frase tem um escopo mais amplo que o da proposição, exemplos de frases que não podem ser consideradas proposições são:

um pedido (“você pode me passar o sal?”)
uma ordem (“Chame o gerente!”)
desejos (“Ah, quem dera ela me amasse!”)
perguntas (“Quantos anos você tem?”)

A proposição é uma frase afirmativa ou negativa que exprime um sentido e “dá algo a entender” por si mesma. Em termos mais precisos, pode-se dizer que a proposição emite um juízo; afirma (ou nega) algo sobre alguma coisa; realiza uma ligação entre um sujeito e um predicado; predica algo de um sujeito.

Mas o ponto fundamental ao qual quero chegar é que com uma proposição ergue-se uma pretensão de verdade, isto é, somente uma proposição pode ser avaliada como verdadeira ou falsa.

O mesmo não pode ser feito com uma pergunta ou uma ordem:
“Qual o seu nome? Me diga seu nome!” certamente são frases, mas não podem ser avaliadas como verdadeiras, tampouco como falsas. Isso também acontece com um nome (em lógica, a palavra que designa um objeto): se alguém diz “Pedro.“, provavelmente você vai perguntar “Pedro o que? O que tem o Pedro?”, da mesma maneira, se alguém diz “Vaso.”, você se perguntaria o que se pretendia dizer com isso. Apesar de essas palavras possuírem significado independente, não se diz nada somente com elas, elas ainda não formam uma proposição. Toda proposição é verdadeira ou falsa.
Toda proposição possui um valor-verdade.

obs: nem sempre a enunciação de nomes simples é sem sentido, pois pode-se imaginar uma situação em que atuam como respostas, como:
-Quem esteve aqui ontem?
-Pedro.
Neste caso o nome funciona como uma reconstrução da pergunta, sendo equivalente a “Pedro esteve aqui ontem”

O conceito de proposição é expresso de diferentes modos, também pode ser chamado de frase enunciativa, enunciado (em ingles statement), juízo (Kant), estado-de-coisas (Wittgenstein) e frase (Aristóteles). Aqui seguiremos a tendência atual de usar o termo “proposição”.

Tipos de Proposição

As proposições podem ser divididas em simples e compostas.

Proposições simples são aquelas que não possuem nenhuma outra proposição como componente, ex: “Pedro está sentado”. Esta proposicão é uma das menores possíveis, composta somente de sujeito, verbo e predicado simples. Proposições compostas são aquelas que possuem outras proposições dentro de si, como “Pedro foi ao jantar ou resolveu ficar em casa“. Aqui as proposições componentes são ‘Pedro foi ao jantar’ e ‘Pedro resolveu ficar em casa’, juntas elas formam uma proposição composta através do conectivo ‘ou‘.

Proposições compostas como essa do jantar são vero-funcionais. Proposições vero-funcionais são aquelas cuja verdade depende somente do valor-verdade de suas componentes e se uma ou mais componentes for substituída por outra com o mesmo valor-verdade, a verdade da proposição composta permanece a mesma.

Proposições com o conectivo ‘e‘ são verdadeiras somente quando todos os componentes são verdadeiros. Por exemplo, “O cão latiu e o gato subiu no armário” é uma proposição composta vero-funcional, e vamos supor que as duas proposições componentes são verdadeiras, assim a proposição composta é verdadeira também. Se substituírmos ‘O cão latiu’ por ‘O livro é verde’, e o livro em questão realmente for verde, a proposição é verdadeira assim como ‘o cão latiu’, então a proposição “O livro é verde e o gato subiu no armário” será verdadeira.

Acho conveniente limitar esta discussão até este ponto para que este artigo não se torne demasiado longo. Em seguida, o assunto a ser tratado serão os conectivos, e há muito a se discutir sobre conectivos!

Continua em

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