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Lógica Matemática – Conectivos

Este artigo se propõe a discutir o significado dos conectivos lógicos; para tanto, é necessário investir em uma profunda discussão linguistico-filosófica sobre o funcionamento desses operadores. O aspecto prático destes conectivos, ou seja, as tabelas de verdade dos conectivos, está presente no artigo sobre a semântica da linguagem.

No artigo anterior foram introduzidas as proposições compostas, que são enunciados que são formados por proposições simples. Estas proposições simples são ligadas por conectivos e, juntas, formam a proposição composta. Por sua verdade depender somente dos valores de verdade das proposições componentes, a proposição composta é uma função de verdade de suas componentes, dessa forma, também é chamada de vero-funcional. Proposições vero-funcionais são de importância fundamental na lógica.

Conhecemos muitos conectivos na língua natural, por exemplo:
e, ou, não, se… então, mas, pois, como, por, embora, nem.

Esta lista de maneira nenhuma pretende ser exaustiva.

Alguns desses conectivos que usamos no discurso usual também são utilizados pela lógica em linguagens formais, contudo, nem todos são necessários ou adequados à lógica matemática, pois muitos deles possuem uma função semântica semelhante ou idêntica, ambígua, ou não são vero-funcionais. Por razões de economia e exatidão, normalmente apenas 5 conectivos são usados em sistemas dedutivos da lógica formal.

Os conectivos que usaremos são os seguintes:

não

e

ou

se… então

… se e somente se…

Entretanto, é preciso justificar esta escolha e mostrar por que ela é adequada. Compare, por exemplo, as seguintes proposições:
π é irracional, mas não é algébrico“,
Marcos é pobre mas não assaltou o mercadinho

No segundo enunciado fica clara a idéia de contraste entre as proposições componentes, isto é, parece haver uma sugestão de que deveríamos nos surpreender que Marcos não é um assaltante. No primeiro enunciado essa sugestão também acontece, mas é menos evidente, a menos que tenhamos acabado de ler que todos os irracionais são algébricos. Os lógicos, na escolha dos conectivos a compor uma linguagem formal, se perguntaram que vantagem traria admitir conectivos que carregassem certos tons vagos ou emocionais. É evidente que isso contribuiria para o obscurecimento da forma lógica das proposições, exatamente o contrário da intenção que se tem ao formular linguagens formais. Por esse motivo vários conectivos da língua natural foram excluídos. O ‘mas’ funciona como o conectivo ‘e’, portanto, “Marcos é pobre mas não assaltou o mercadinho” tem o mesmo valor semântico de “Marcos é pobre e não assaltou o mercadinho”.

Apesar de haver essa escolha rigorosa de conectivos, ainda assim os cinco conectivos da nossa linguagem apresentam comportamentos distintos na linguagem ordinária, e a lógica estabelece um funcionamento mais rígido para todos esses conectivos a fim de manter a precisão na linguagem, observe  as seguintes sentenças:

1. “Eles se casaram e tiveram um filho”

2. “Eles tiveram um filho e se casaram”

3. “Se eu abrir a janela então teremos ar fresco”

4. “Se eu abrir a janela então 2+2=4”

5. “Se eu abrir a janela então 1+2=5”

6. “João está trabalhando ou está em casa”

7. “Sócrates foi um grego ou um filósofo”

Observando as sentenças 1 e 2, podemos ver que o conectivo ‘e‘ pode adquirir uma conotação temporal na linguagem ordinária. A proposição “Eles se casaram e tiveram um filho” nos passa a impressão imediata de que o casal teve um filho após o casamento, enquanto a proposição 2 sugere justamente o inverso. Na lógica formal e na matemática esta conotação temporal desaparece. Então “Eles se casaram e tiveram um filho“, “f(x) é crescente e x é maior do que 2” e “joão foi à padaria e maria foi ao cinema” não possuem qualquer sugestão de ordenação temporal, isto é, apenas afirma-se que ambas as partes se verificam independentemente do tempo em que ocorreram (a menos que haja uma referência explícita ao tempo na própria proposição, é claro).

Os exemplos 3 a 5 consideram a implicação (ou condicional). Na linguagem ordinária assumimos que em uma implicação deve haver uma relação (causa e efeito por exemplo) entre o antecedente e o consequente,  e por isso o exemplo 3 é comumente aceito como verdadeiro. O mesmo não ocorre com os exemplos 4 e 5, na linguagem comum eles seriam rejeitados como falsos ou desprovidos de sentido. Mas do ponto de vista da lógica, uma relação entre o antecedente e o consequente da condicional não é necessária. Há vários motivos para isso, um deles é que os significados deveriam ser deixados de fora de considerações sintáticas. Se não fosse assim, a sintaxe seria difícil de ser manipulada e não haveria como saber de antemão como avaliar a derivabilidade das proposições e cairíamos em uma prática esotérica de casos excepcionais. Esta implicação “mais generalizada” da lógica é conhecida como implicação material. Porém, existem sistemas lógicos que consideram a relevância em expressões condicionais, assim como outros sistemas consideram outros tipos de implicações… a mais comum realmente é a implicação material.

Finalmente, os exemplos 6 e 7 mostram o uso do conectivo ‘ou‘. Tendemos a aceitar 6 e a rejeitar 7. Na maioria das vezes pensamos no ‘ou’ como exclusivo. Na proposição 6 até certo ponto esperamos que João não trabalhe em casa, e em 7, apesar de ser uma proposição verdadeira, ela é repudiada pois é incomum e artificial usar um ‘ou’ quando na verdade poderíamos usar o conectivo ‘e’, isto provém da máxima conversacional de que “não devemos fazer uma asserção mais fraca quando poderíamos fazer uma mais forte”. Além disso, não costumamos usar o conectivo ‘ou’ quando já sabemos qual das opções é verdadeira, “32 é par ou o Brasil é um país europeu” seria considerada artificial. Na lógica, são legítimos e de igual importância todos esses usos considerados supérfluos pela linguagem ordinária.

A seguir examinaremos a fundo os conectivos, não apresentarei suas respectivas tabelas-verdade por enquanto, isto será discutido 2 artigos à frente, quando for introduzida a semântica da linguagem.

clique aqui se estiver ansioso para ver as tabelas verdade dos conectivos

Os Conectivos

1. Conjunção

O conectivo ‘e’ é conhecido como conjunção. A notação utilizada depende muito do autor do livro, sendo estas as mais comuns:  ^, • , &.

Na linguagem que formularei usaremos o símbolo ^.

A conjunção é um operador binário, ou seja, opera duas proposições de cada vez. Entretanto, uma proposição composta pode ter duas ou mais componentes, não havendo nenhum limite para isso. Por ser um conectivo vero-funcional, as proposições compostas que o contém dependem inteiramente do valor-verdade das expressões componentes.

Seja φ a proposição “Pedro é brasileiro e Johann é alemão” (p ^q).

φ é uma proposição composta vero-funcional que será verdadeira somente quando as duas expressões componentes, “Pedro é brasileiro”(p) e “Johann é alemão”(q), forem verdadeiras. Esta é a condição de verdade da conjunção. É bom observar que a conjunção não liga somente proposições simples, mas também pode ligar proposições compostas:

Seja φ a proposição usada anteriormente, e ψ a proposição “O Brasil é um país emergente e a Alemanha está em recessão” (r ^ s), podemos fazer uma conjunção entre as duas proposições compostas, assim temos φ ^ ψ, ou seja, (p ^q) ^ (r ^ s),cujo valor de verdade, em última análise, depende dos valores variáveis proposicionais p, q, r e s.

caso não conheça o alfabeto grego, acesse o índice de símbolos

Observação:
Muitos casos nos quais o ‘e’ aparece não entre proposições, mas entre elementos intra-proposicionais, são também proposições compostas da forma p ^ q, por exemplo: “Pedro e Maria são loiros” tem a forma “Pedro é loiro e Maria é loira”, neste caso o ‘e’ entre os sujeitos funciona como uma forma abreviada da segunda proposição. Há, porém, um segundo significado do conectivo ‘e’, como em “Pedro e Maria conversam”; esta proposição não pode ser decomposta em “Pedro conversa e Maria conversa”, pois se trata de uma proposição relacional entre dois termos singulares. Além destas existem outras formas semânticas do conectivo ‘e’ que tornariam esta observação demasiadamente longa.

2. Negação

O mais simples dos operadores é a negação, normalmente ela é representada pelos símbolos ¬ e ~ .Em linguagem natural alguém poderia expressar uma negação dizendo antes de uma frase “é falso que”, “não é o caso que” ou colocando o “não” antes do verbo principal da proposição, mas existem outras diversas formas de se negar um enunciado.

Seja p a proposição “Todos os humanos são mortais”, assim, as proposições “Nem todos os humanos são mortais”, “Alguns humanos não são mortais”, “É falso que todos os humanos são mortais” são indiferentemente simbolizados por ¬p.

É preciso ter atenção neste ponto, pois alguém pode ter a impressão de que as negações de p são somente “Todos os humanos não são mortais”, “Nenhum humano é mortal” ou “É falso que todos os humanos são mortais”.
Esses enunciados também negam a proposição p, mas, como é discutido exaustivamente na lógica aristotélica, bastaria um único caso para contrariar a afirmação “Todos os humanos são mortais”, dessa forma “Alguns humanos não são mortais” também é uma negação de p.

A negação inverte o valor de verdade de uma proposição, isto é, se ela for verdadeira, se torna falsa; e se ela for falsa, se torna verdadeira. A negação é um operador unário, ou seja, aplica-se somente a uma fórmula, em vez de ligar duas fórmulas como os outros operadores. Assim somente expressões como ¬p, ¬(p ˅ q), ¬((p ˅ q) ˄ ¬(p ˄ q)), são válidas. Expressões como p ¬˄ q ou p ¬q são incorretas e sem sentido de acordo com as regras de formação da linguagem.

3. Disjunção

A disjunção é o conectivo ‘ou’. Seu símbolo normalmente usado é o ˅, que não deve ser confundido com a letra v. A palavra ‘ou’ tem dois significados distintos, como veremos ao analisar a proposição “Os clientes tem direito a um café ou biscoito após a sessão”. O conectivo ‘ou’ pode interpretado como inclusivo e como exclusivo, normalmente isso é decidido de acordo com o contexto. Ou seja, espera-se que os clientes possam escolher um café, um biscoito, ou ambos. Neste caso o ‘ou’ é inclusivo. Se quem oferece as guloseimas for avarento, pode ser o caso que os clientes só tem direito a uma das opções, e neste caso o ‘ou’ seria exclusivo.

A proposição “O bandido está morto ou conseguiu escapar vivo” apresenta o ‘ou’ exclusivo da forma mais explícita possível. Em lógica utilizamos o ‘ou’ inclusivo, a menos que seja indicado o contrário. Dessa forma, a condição de verdade do conectivo ˅ é que para a proposição composta ser verdadeira pelo menos um dos componentes deve ser verdadeiro.

4. Implicação Material

Este é o conectivo mais complexo e polêmico de nossa linguagem formal, tanto que existem capítulos e livros inteiros dedicados inteiramente a ele. Procurarei fazer uma abordagem elucidativa o suficiente para evitar confusões, e, ao mesmo tempo, não me prolongar demais neste assunto.

A implicação material, também conhecida como condicional, ocorre quando há a partícula ‘se’ seguida por uma proposição p, que por sua vez é seguida por um ‘então’ e outra proposição q. A forma padrão é “Se p então q”, como na frase “Se chover, então levarei o guarda-chuva”. A proposição que segue o ‘se’ é chamada antecedente, e a que segue o ‘então’ é chamada consequente. O símbolo que usaremos para a implicação material é →. Exemplo: p → q

O que a implicação afirma é que sempre que o antecedente é verdadeiro, o consequente é verdadeiro. A implicação não afirma que o consequente é verdadeiro somente se o antecedente for verdadeiro; dessa forma, digamos que pedro disse que “se chover, então levarei o guarda-chuva” mas não choveu e mesmo assim ele levou o guarda chuva. Isso não tornaria a sua proposição condicional falsa, porque ela seria falsa somente no caso de chover e ele não levar o guarda-chuva. Assim chegamos à condição de verdade da implicação:
a implicação material é verdadeira sempre que não é o caso que o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.

Ou seja, a implicação é verdadeira em 3 dos 4 casos possíveis:

Quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é verdadeiro.

Quando o antecedente é falso e o consequente é verdadeiro.

Quando o antecedente é falso e o consequente é falso.

A implicação é falsa somente se o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.

Isto satisfaz as pretensões da lógica, mas existem muitos outros usos:

1. “Se todos os homens são mortais e Sócrates é homem,
então Sócrates é mortal”

2. “Se Pedro é solteiro, então pedro não é casado”

3. “Se o esta amostra de Cloro for diluída nesta solução,
então a solução terá PH neutro”

4. “Se o Flamengo perder o campeonato, então eu engulo o meu boné”

5. “Se a madeira fosse um metal, ela seria maleável”

6.”Se ele estava embaraçado, ele não se mostrou como tal”

A discussão completa de todos esses tipos (que não são todos os possíveis) talvez ultrapasse largamente os propósitos desse artigo, então somente indicarei as sutis diferenças entre cada um dos exemplos.

A implicação na proposição 1 é do tipo “implicação lógica”, que é a mesma presente em inferências e silogismos. O consequente segue logicamente do antecedente.  Na proposição número 2, o consequente resulta do antecedente através da própria definição de “solteiro”, ou seja, é uma proposição analítica, baseia-se na idéia de analiticidade. Na proposição 3 o consequente não segue do antecedente por necessidade lógica nem pela definição dos seus termos, mas por uma relação causal empírica, ou seja, descoberta pela experiência, entre o antecedente e o consequente. Em 4, o consequente não segue do antecedente por nenhuma das razões anteriores, e definitivamente não há nenhuma lei ou regra que conecte o antecedente com o consequente. Então esta proposição expressa uma simples decisão arbitrária do agente em se comportar daquela determinada maneira. Na proposição 5 temos uma implicação do tipo contrafactual, que é equivalente a uma implicação com antecedente e consequente falsos: “se a madeira é um metal, ela é maleável”. A proposição 6 tem condições de verdade diferentes da implicação material e, por isso, simplesmente não é uma implicação material.

A implicação material age como uma generalização de todos os tipos de implicação, e para tanto precisa ignorar alguns aspectos adicionais destes outros tipos. Contudo, a validade dos argumentos a serem tratados pela nossa linguagem será preservada mesmo que ignoremos esses aspectos adicionais de algumas condicionais.

Condição necessária e Condição suficiente

Estas são duas noções muito importantes para a compreensão da implicação.

Condição necessária é aquela que sempre deve ser satisfeita para que X seja verdadeiro. Condição suficiente é aquela que basta para que X seja verdadeiro. Um exemplo esclarecerá essa distinção de uma vez por todas:

Se eu visito a torre Eiffel, então estou em Paris

O antecedente da condicional é uma condição suficiente para eu estar em paris, evidentemente não é única. Por outro lado, estar em Paris é condição necessária para eu visitar a torre Eiffel, pois é impossível visitar a torre Eiffel sem estar em Paris. O antecedente de uma implicação qualquer é sempre a condição suficiente, e o consequente é sempre a condição necessária. Isto deve ser respeitado, caso contrário, a condicional sempre poderá ser falsa ou resultar em falácia.

5. Equivalência Material

O nosso último conectivo é o ‘… se e somente se…‘ e é representado pelo símbolo ↔. A equivalência material também é conhecida como bicondicional. A condição de verdade do bicondicional é simples: a proposição contendo um bicondicional é verdadeira sempre que o antecedente e o consequente tiverem o mesmo valor de verdade. Considere a proposição “O limite de f(x) existe se e somente se seus limites laterais são iguais”, isto quer dizer que se p,”o limite de f(x) existe” for verdadeiro, q “seus limites laterais são iguais” também é verdadeiro; e vice-versa. De maneira análoga, se p for falso, q é falso também, e vice-versa. A equivalência material também pode ser interpretada como uma implicação que funciona em ambos sentidos, ou seja, o p implica q e q implica p.

Continua em

Lógica Matemática – Sintaxe

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  1. Rita Hetem
    julho 22, 2012 às 3:25 pm

    obrigadíssimo – me ajudou muito!

  2. Janaina
    novembro 6, 2016 às 2:16 pm

    Muito obrigada! Explicaçao super clara!

  3. abril 25, 2017 às 6:48 pm

    Tudo bom? Ótima explicação! Gosto muito de raciocínio lógico, no entanto estou com uma dúvida.
    É possível dizer que (afirmação 1)”Todo gato é pardo” é equivalente a (afirmação 2)”Se gato então pardo”??
    No meu olhar, parece ser possível, o significado das duas parece muito ser igual. Só que ao fazer a negação delas, se tem resultados diferentes.
    No primeiro caso, “Pelo menos um (algum) gato não é´pardo” e no segundo caso, a negação lógica do conectivo “se…então” é “gato e não pardo”.
    É aqui que surge o problema. Eu acho as duas frases parecidas, mas noto uma diferença no significado. A frase número 2 não abre a possibilidade de existirem gatos pardos enquanto a frase 1, permite a existência.
    E mais uma coisa, como representar “algum gato não é pardo” com conectivos lógicos??

  1. outubro 6, 2009 às 6:31 am
  2. outubro 30, 2009 às 1:54 am

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