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Lógica Matemática – Sintaxe

Bom, chegou a hora de penetrar definitivamente no simbolismo matemático da lógica. Após uma breve exposição do background filosófico da lógica, temos condições de prosseguir no estudo do cálculo proposicional.

Nas palavras de van Dalen, o processo de formalização da lógica proposicional consiste em dois estágios:

(1) apresentar uma linguagem formal,

(2) especificar um procedimento para se obter proposições válidas e verdadeiras.

Estes dois estágios complementares podem ser compreendidos analogamente como a definição de um alfabeto e a definição de uma gramática de nossa linguagem, e é isso o que devemos fazer a seguir.

Chamemos de L a nossa linguagem formal.

Definição 1 – alfabeto

A linguagem L tem um alfabeto consistindo de

(i) símbolos proposicionais: p, q, r, s, t … ou p1, p2, p3, …, pi onde i ϵ N

(ii) conectivos: ˄ , ˅ , ¬ , → , ↔ , ┴

(iii) símbolos auxiliares: ( , )

Em resumo, uma linguagem formal é constituída pela sintaxe (alfabeto e gramática), semântica, regras de inferência e axiomas. Mas é preciso notar que duas linguagens formais podem ser idênticas mesmo que os alfabetos, por exemplo, sejam diferentes.

Vimos anteriormente que o conectivo ‘e’ pode ser simbolizado também por & e outros símbolos; a escolha dos símbolos varia de autor para autor, sendo limitada apenas por bom senso e convenção. Há também a questão dos conectivos primitivos, isto é, aqueles que são definidos no alfabeto como foi feito agora. Na presente linguagem L, foi generoso na definição, pois usei todos os conectivos que me eram permitidos. Na definição de sistemas formais é muito comum usar menos conectivos primitivos quanto for possível, como por exemplo, apenas os conectivos ˄  e ¬.

Na obra Principiia Mathematica, Russell e Whitehead usaram como primitivos apenas ˅ e ¬. Mas a questão que surge é a seguinte: e os outros conectivos, o que acontece com eles? Em casos assim, os outros conectivos são definidos através dos conectivos primitivos, e isto é perfeitamente cabível, como será discutido em outra ocasião.

Inclusive todos os conectivos são definíveis entre si; esta característica faz com que esses conectivos sejam chamados de completamente funcionais. Por exemplo, o conectivo ˄  pode ser definido em termos de  ˅ e ¬ da seguinte maneira:

(p ˄ q)       é equivalente a     ¬(¬p ˅  ¬q)

Definição 2 – regras de formação

A seguir serão apresentadas as regras de formação de L. Fórmulas são expressões na linguagem; as fórmulas válidas serão chamadas de wff (well-formed formula).

Seja X o menor conjunto de wff‘s

(i) Pi ϵ X (i ϵ N) – uma variável proposicional é uma wff

(ii) φ ϵ X => ¬φ ϵ X

(iii) φ , ψ ϵ  X => (φ ˄ ψ), (φ ˅ ψ), (φ → ψ), (φ ↔ ψ) ϵ X

(iv)  ┴  ϵ  X

(v) todas as wff‘s de L são formadas de acordo com as regras i, ii, iii e iv.

caso não conheça o alfabeto grego, acesso o índice de símbolos

A definição 2 merece algumas explicações.

Em primeiro lugar, a regra (i) diz que proposições como p, q e r, enunciadas isoladamente já são expressões válidas. A partir da regra (ii) foram usadas letras gregas como φ e ψ. Elas devem ser consideradas variáveis proposicionais como p, q, e r? Não. As letras gregas phi, psi e etc. são utilizadas como meta-variáveis, ou seja, símbolos que utilizamos para nos referir às variáveis proposicionais p, q, etc. Assim, φ pode se referir tanto a uma simples variável proposicional p, quanto a uma fórmula complexa como (p ˅ q) ↔ (( p ˄ r) → q). Usamos as variáveis p, q (…) para simbolizar proposições sobre objetos do mundo real; indo um nível acima, utilizamos as meta-variáveis φ, ψ (…) para simbolizar proposições sobre proposições. O símbolo => tem o mesmo papel, e deve ser entendido como um “se… então”, assim como o →.

A regra (ii) afirma que se φ é uma expressão válida na linguagem, sua negação também é, ou seja, se p é uma wff, ¬p também é. A regra (iii) nos ensina que duas wff’s podem ser relacionadas entre si com qualquer um dos conectivos. O símbolo ┴ que já estava presente na definição 1 é o falsum (absurdum) que representa o absurdo, uma contradição, é útil em muitos casos e, de acordo com a regra (iv), ele sozinho já é uma wff.

A última regra é conhecida como Fechamento, o que ela significa é que estas são as únicas formas de se construir uma expressão válida na linguagem, qualquer procedimento distinto desses produz uma fórmula inválida na linguagem L.

As regras de formação poderiam ser enunciadas informalmente da seguinte maneira:

(i) uma variável proposicional é uma fórmula

(ii) se uma expressão é uma fórmula, então sua negação também é uma fórmula

(iii) dadas duas expressões quaisquer que sejam fórmulas, então a conjunção, a disjunção, a implicação e a equivalência material destas duas expressões são fórmulas.

(iv) o símbolo da contradição é uma fórmula

(v) os procedimentos de i a iv são os únicos que produzem fórmulas

Conceitos avançados

A seguir vou apresentar conceitos mais avançados, para aqueles que estejam interessados em um aprofundamento no assunto. Contudo, as noções seguintes não são indispensáveis, pode-se passar para os próximos artigos sem aprender explicitamente estes conceitos. Evidentemente, ignorar este conteúdo proporcionaria um conhecimento apenas superficial.

Definição 3 – Subfórmula

A noção de subfórmula imediata é dada pelas seguintes condições:

(i) variáveis proposicionais não têm subfórmulas imediatas

(ii) ¬φ tem φ como subfórmula imediata

(iii) as fórmulas do tipo φ □ ψ tem como subfórmulas imediatas φ e ψ

obs: o símbolo □ também faz parte da metalinguagem e denota qualquer um dos conectivos binários (→, ↔, ˄, ˅)

exemplos:

(i) a subfórmula imediata de p é p

(ii) a subfórmula imediata de ¬(p → q) é (p → q)

(iii) (p ˄ q) → (p ˅ q) tem como subfórmulas imediatas as fórmulas (p ˄ q) e (p ˅ q); e estas, por sua vez, tem as variáveis p e q como subfórmulas imediatas

Definição 3.1

A noção geral de subfórmula é implicitamente definida pelas regras:

(i) Se φ é uma subfórmula imediata de ψ, ou se φ é idêntica a ψ, então φ é uma subfórmula de ψ

(ii) Se φ é uma subfórmula de ψ e ψ é uma subfórmula de ϕ, então φ é uma subfórmula de ϕ

As únicas fórmulas que não possuem subfórmulas imediatas são as variáveis proposicionais, por esta razão são conhecidas como fórmulas atômicas. As demais são conhecidas como fórmulas compostas.

Definição 4 – Graus e Princípios de Indução

Para facilitar as provas e definições indutivas, definimos o grau de uma fórmula como o número de ocorrências de conectivos lógicos nela.

(i) Pi (i ϵ N) tem grau zero

(ii) Se φ tem grau n, então ¬φ tem grau n+1

(iii) Se as fórmulas φ e ψ tem, respectivamente, graus n e m, então φ □ ψ tem grau n+m+1

Definição 5 – Indução Matemática

Seja S um conjunto de fórmulas e P uma certa propriedade que queremos mostrar que vale para todo elemento de S; para isso, as seguintes condições devem ser satisfeitas:

(i) todo elemento de S de grau zero possui a propriedade P

(ii) Se algum elemento de S de grau maior que zero não tiver a propriedade P, então algum elemento de grau inferior não tem a propriedade P.

Continua em

Lógica Matemática – Semântica

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  1. março 14, 2014 às 6:12 pm

    Republicou isso em Um Panda na Garagem.

  2. dezembro 13, 2014 às 1:42 pm

    Parabéns pela página!

  3. 1filosofoeduardo
    dezembro 13, 2014 às 1:43 pm

    Republicou isso em 1filosofoeduardo.

  1. outubro 8, 2009 às 11:23 pm
  2. outubro 30, 2009 às 1:38 am

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