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Lógica Matemática – Semântica

Até o momento foram apresentados somente os aspectos sintáticos da nossa linguagem L. Dessa maneira, e em conjunto com os axiomas e regras de inferência, a linguagem não passaria de uma manipulação automática de símbolos sem significação completa. Então para tornar a nossa linguagem formal completa e útil, devemos adicionar-lhe uma semântica, isto é, atribuir valor a cada uma das fórmulas da linguagem.

Considere um conjunto {T , F}, de dois elementos distintos, T e F .

T e F devem ser entendidos como valores de verdade, significando, respectivamente, verdadeiro e falso (true e false).

Para qualquer conjunto S de fórmulas, entende-se por uma valoração de S uma função v de S no conjunto {T,F}. Isto significa um mapeamento que atribui a cada fórmula φ de S um dos valores do conjunto {T,F}. O valor v(φ) de φ é chamado de valor de verdade de φ ou valoração de φ.

Se v(φ) = T então φ é verdadeira sob a valoração v, e se v(φ) = F então φ é falsa sob a valoração de v.

por que T e F, em vez de V e F, ou ainda, 0 e 1?

A minha escolha pelo uso das dos caracteres T e F é justificada pelas seguintes razões:

A notação que pretendo seguir é uma tentativa de harmonizar a simplicidade com sofisticação, ou seja, não pretendo ser simples de tal maneira que se torne difícil abordar tópicos mais avançados, assim como não pretendo mergulhar em um oceano de cadeias de símbolos quase incompreensíveis. O uso de V e F é dispensado porque o caracter V pode trazer confusão devido à presença do símbolo v(valoração) e também devido ao caracter ˅ da disjunção. É evidente que em texto digitado a diferença é bem clara, mas, pelo costume e para evitar confusões em trabalhos à mão prefiro adotar o caracter T, do inglês true. A questão do costume é importante, pois ao iniciar a leitura de um livro, é crucial se acostumar com a notação do autor, e a maioria dos livros de qualidade especializados em lógica são em inglês e, consequentemente, é necessário lidar com o T e F. Os caracteres 0 e 1 também são dispensados porque são bem menos utilizados que os outros e têm a desvantagem de carregar a conotação booleana do “zero e um” da eletrônica e da computação.

Definição 6 – Valoração Booleana

Seja E o conjunto de todas as fórmulas.

Uma valoração de v em E é dita valoração booleana se, para quaisquer φ e ψ em E, valem as condições:

(i) ¬φ é verdadeira se φ é falsa, e ¬φ é falsa se φ é verdadeira

(ii) Uma fórmula φ ˄ ψ é verdadeira se φ e ψ são ambas verdadeiras; caso contrário φ ˄ ψ é falsa

(iii) Uma fórmula φ ˅ ψ é verdadeira se pelo menos uma das fórmulas é verdadeira; φ ˅ ψ é falsa somente se ambas as fórmulas forem falsas

(iv) Uma fórmula φ → ψ é verdadeira se φ é falsa ou se ψ é verdadeira; a fórmula φ → ψ é falsa somente se φ for verdadeira e ψ for falsa

(v) Uma fórmula φ ↔ ψ é verdadeira se φ e ψ possuírem o mesmo valor de verdade, se não, a fórmula φ ↔ ψ é falsa

Definição 6.1 – Interpretação

Por interpretação de uma fórmula φ entende-se uma atribuição de valores de verdade (uma valoração) a todas as variáveis proposicionais contidas em φ. De modo mais geral, por interpretação de um conjunto W de fórmulas, entende-se uma valoração de todas as variáveis proposicionais que ocorram em quaisquer elementos de W. Daí é fácil perceber que qualquer interpretação i de um conjunto E pode ser estendida a no máximo uma valoração booleana de E. Por outro lado, uma mesma valoração booleana pode corresponder a interpretações diferentes.

Toda variável proposicional deve possuir um, e apenas um, dos valores de verdade. Toda proposição deve ser verdadeira ou falsa.

Tabelas verdade

Para organizar os valores de verdade obtidos com cada conectivo lógico, foi desenvolvido o método das tabelas verdade. Este método é o mais utilizado, devido à sua simplicidade, porém, ele não é livre de defeitos ou limitações.  Cada linha da tabela verdade corresponde a uma interpretação, o número de linhas é determinado pelo número 2n, onde n é o número de variáveis proposicionais, e este número corresponde exatamente ao número de combinações possíveis dos valores de verdade das proposições. É fácil perceber que o número de linhas aumenta vertiginosamente à medida que se multiplica o número de variáveis, tornando a tarefa impraticável ou tediosa. Enfim, vejamos as tabelas verdade dos conectivos:

Negação

φ
¬φ
T
F
F
T

Conjunção

φ
˄
ψ
T
T
T
T
F
F
F
F
T
F
F
F

Disjunção

φ
˅
ψ
T
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
F

Condicional

φ
ψ
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
T
F

Bicondicional

φ
ψ
T
T
T
T
F
F
F
F
T
F
T
F

É evidente que as mesmas tabelas verdade seriam obtidas se φ = p e ψ = q, ou seja, se as metavariáveis φ e ψ forem fórmulas atômicas (variáveis proposicionais) obtemos o mesmo resultado. A tabela verdade não é nada mais que uma representação das possibilidades de combinação entre os valores de verdade de fórmulas.

Existem 16 (222) funções de verdade, ou combinações, para duas fórmulas φ e ψ.

φ ψ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
T T T T T T T T T T F F F F F F F F
T F T T T T F F F F T T T T F F F F
F T T T F F T T F F T T F F T T F F
F F T F T F T F T F T F T F T F T F

as funções de verdade podem ser lidas da seguinte forma:

  1. (T T T T) tautologia – se φ então φ e se ψ então ψ; φ) e (ψ ψ)
  2. (T T T F) em palavras: φ ou ψ – (φ ˅ ψ)
  3. (T T F T) em palavras: se ψ então φ – φ)
  4. (T T F F) em palavras: φ – φ
  5. (T F T T) em palavras: se φ então ψ – ψ)
  6. (T F T F) em palavras: ψ – ψ
  7. (T F F T) em palavras: φ se e somente se ψ – ψ)
  8. (T F F F) em palavras: φ e ψ – (φ ˄ ψ)
  9. (F T T T) em palavras: não ambos φ e ψ – ¬(φ ˄ ψ)
  10. (F T T F) em palavras: φ ou ψ, mas não ambos – (φ ˄ ¬ψ) ˅ (¬φ ˄ ψ)
  11. (F T F T) em palavras: não ψ – ¬ψ
  12. (F T F F) em palavras: φ e não ψ – (φ ˄ ¬ψ)
  13. (F F T T) em palavras: nao φ – ¬φ
  14. (F F T F) em palavras: ψ e não φ – (ψ ˄ ¬φ)
  15. (F F F T) em palavras: nem φ, nem ψ – (¬φ ˄ ¬ψ) ou (φ | ψ)
  16. (F F F F) contradição – φ e não φ e ψ e não ψ – (φ ˄ ¬φ) e (ψ ˄ ¬ψ)

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Índice de Símbolos

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  1. sueli salete pastro pavan
    junho 4, 2010 às 1:39 am

    Achei muito bom teu saite. Muito interessante e de grande utilidade.
    Estou fazendo especialização em Questões filosófica na UFMT-MT, e achei sensacional… estamos iniciando o módulo de Lógica…. espero que vá me ajudar muitoooo…. obrigado…
    volto a entrar em contato…. ok…. sueli…

  2. novembro 15, 2011 às 7:45 pm

    nao foi util for me

  3. Rita Hetem
    julho 22, 2012 às 3:41 pm

    É a primeira vez que entro em contato com o assunto. Achei muito importante o como você localiza o leitor, dando o contexto da formação dos conceitos matemáticos. Obrigada!

  1. outubro 30, 2009 às 1:41 am
  2. outubro 30, 2009 às 2:46 am
  3. novembro 25, 2013 às 12:21 pm

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