Regras de inferência – parte II

Regras de inferência são regras sintáticas que produzem enunciados válidos em um sistema formal. A partir de um conjunto de proposições podemos derivar outras seguindo estas regras. No artigo “Regras de Inferência” foram apresentadas as 10 regras de inferência básicas, e neste presente artigo serão expostas as regras restantes, que são de importância funda- mental e são utilizadas com muita frequencia em demonstrações na matemática e na lógica.

As seguintes regras de inferência são chamadas regras de substituição porque estabelecem as transformações entre proposições logicamente equivalentes. Por exemplo, a proposição p pode ser inferida a partir da proposição ¬¬p, e é a partir desta regra de inferência que iniciamos a nossa lista:

(o símbolo ⇔ faz parte da metalinguagem e representa a equivalência entre as proposições)

Dupla Negação

¬¬P ⇔ P

A dupla negação de uma proposição equivale à própria proposição.
Ex: “É falso que Pedro não foi à padaria” é equivalente a “Pedro foi  à padaria”.

Idempotência

1) P ⇔ (P ˄ P)

2) P ⇔ (P ˅ P)

Evidentemente é uma tautologia.

Comutação

1)  (P ˄ Q) ⇔ (Q ˄ P)

2) (P ˅ Q) ⇔ (Q ˅ P)

3) (P ↔ Q) ⇔ (Q ↔ P)

Os componentes de uma conjunção, disjunção ou bicondicional podem ser comutados para simplificação.

Associação

1) P ˄ (Q ˄ R) ⇔ (P ˄ Q) ˄ R ⇔ (P ˄ R) ˄ Q

2) P ˅ (Q ˅ R) ⇔ (P ˅ Q) ˅ R ⇔ (P ˅ R) ˅ Q

Em geral, o que esta regra de inferência nos diz é que em conjunções e disjunções a ordem das proposições componentes não altera o valor lógico do conjunto, assim, os parenteses poderiam ser removidos, como em P ˄ Q ˄ R, sem gerar ambiguidade.

Distribuição

1) P ˄ (Q ˅ R) ⇔ (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R)

2) P ˅ (Q ˄ R) ⇔ (P ˅ Q) ˄ (P ˅ R)

Esta regra indica que uma conjunção pode distribuir-se em uma disjunção e uma disjunção pode se distribuir em uma conjunção. Isto pode ser ilustrado no seguinte exemplo, onde P se refere a “Pedro acordou”, Q a “Pedro foi à escola” e R  a “Pedro foi à praia”:

1) “Pedro acordou e foi à escola ou foi à praia” ⇔ “Pedro acordou e foi à escola ou Pedro acordou e foi à praia”

Agora, atribuindo às variáveis P, Q e R, respectivamente, as proposições “Pedro é inteligente”, “Pedro é mau aluno” e “Pedro repetiu de ano”.

2) “Pedro é inteligente ou Pedro é mau aluno e repetiu de ano” ⇔ “Pedro é inteligente ou é mau aluno e Pedro é inteligente ou repetiu de ano”.

Transposição

P → Q ⇔ ¬Q → ¬P

Esta importantíssima regra de inferência tem relação direta com a regra Modus Tollens; lembre-se que a negação do consequente de uma implicação resulta na negação do antecedente. Portanto, o antecedente e consequente podem ser transpostos contanto que um sinal de negação seja introduzido em ambos.

Ex: “Se Pedro é estrangeiro, então ele não nasceu no Brasil” ⇔ “Se Pedro nasceu no Brasil, então ele não é estrangeiro”

Implicação Material

P → Q ⇔ ¬P ˅ Q

Serve para mostrar a equivalência entre a condicional e a disjunção

Equivalência Material

P ↔ Q ⇔ (P → Q) ˄ (Q → P)

Uma bicondicional pode ser transformada em duas condicionais.

Exportação/Importação

(P ˄ Q) → R ⇔ P → (Q → R)

De Morgan

¬(P ˄ Q) ⇔ ¬P ˅ ¬Q

¬(P ˅ Q) ⇔ ¬P ˄ ¬Q

A lei de De Morgan, em última análise, se apóia na definição da disjunção em termos da conjunção e na definição da conjunção em termos da disjunção. O que esta regra diz  é que a negação de uma conjunção é a disjunção das negações dos componentes; e a negação de uma disjunção é a conjunção das negações das proposições componentes.

Exemplos:

“É falso que Pedro foi à escola e fez a prova” ⇔ “Pedro não foi à escola ou Pedro não fez a prova”

“Não é verdade que teremos 1 semana de folga ou uma viagem grátis” ⇔ “Não teremos 1 semana de folga e não teremos uma viagem grátis”

Não podemos esquecer que a validade das regras de inferência pode ser verificada rapidamente com o uso das tabelas verdade.

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