Regras de inferência – parte II
Regras de inferência são regras sintáticas que produzem enunciados válidos em um sistema formal. A partir de um conjunto de proposições podemos derivar outras seguindo estas regras. No artigo “Regras de Inferência” foram apresentadas as 10 regras de inferência básicas, e neste presente artigo serão expostas as regras restantes, que são de importância funda- mental e são utilizadas com muita frequencia em demonstrações na matemática e na lógica.
As seguintes regras de inferência são chamadas regras de substituição porque estabelecem as transformações entre proposições logicamente equivalentes. Por exemplo, a proposição p pode ser inferida a partir da proposição ¬¬p, e é a partir desta regra de inferência que iniciamos a nossa lista:
(o símbolo ⇔ faz parte da metalinguagem e representa a equivalência entre as proposições)
Dupla Negação
¬¬P ⇔ P
A dupla negação de uma proposição equivale à própria proposição.
Ex: “É falso que Pedro não foi à padaria” é equivalente a “Pedro foi à padaria”.
Idempotência
1) P ⇔ (P ˄ P)
2) P ⇔ (P ˅ P)
Evidentemente é uma tautologia.
Comutação
1) (P ˄ Q) ⇔ (Q ˄ P)
2) (P ˅ Q) ⇔ (Q ˅ P)
3) (P ↔ Q) ⇔ (Q ↔ P)
Os componentes de uma conjunção, disjunção ou bicondicional podem ser comutados para simplificação.
Associação
1) P ˄ (Q ˄ R) ⇔ (P ˄ Q) ˄ R ⇔ (P ˄ R) ˄ Q
2) P ˅ (Q ˅ R) ⇔ (P ˅ Q) ˅ R ⇔ (P ˅ R) ˅ Q
Em geral, o que esta regra de inferência nos diz é que em conjunções e disjunções a ordem das proposições componentes não altera o valor lógico do conjunto, assim, os parenteses poderiam ser removidos, como em P ˄ Q ˄ R, sem gerar ambiguidade.
Distribuição
1) P ˄ (Q ˅ R) ⇔ (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R)
2) P ˅ (Q ˄ R) ⇔ (P ˅ Q) ˄ (P ˅ R)
Esta regra indica que uma conjunção pode distribuir-se em uma disjunção e uma disjunção pode se distribuir em uma conjunção. Isto pode ser ilustrado no seguinte exemplo, onde P se refere a “Pedro acordou”, Q a “Pedro foi à escola” e R a “Pedro foi à praia”:
1) “Pedro acordou e foi à escola ou foi à praia” ⇔ “Pedro acordou e foi à escola ou Pedro acordou e foi à praia”
Agora, atribuindo às variáveis P, Q e R, respectivamente, as proposições “Pedro é inteligente”, “Pedro é mau aluno” e “Pedro repetiu de ano”.
2) “Pedro é inteligente ou Pedro é mau aluno e repetiu de ano” ⇔ “Pedro é inteligente ou é mau aluno e Pedro é inteligente ou repetiu de ano”.
Transposição
P → Q ⇔ ¬Q → ¬P
Esta importantíssima regra de inferência tem relação direta com a regra Modus Tollens; lembre-se que a negação do consequente de uma implicação resulta na negação do antecedente. Portanto, o antecedente e consequente podem ser transpostos contanto que um sinal de negação seja introduzido em ambos.
Ex: “Se Pedro é estrangeiro, então ele não nasceu no Brasil” ⇔ “Se Pedro nasceu no Brasil, então ele não é estrangeiro”
Implicação Material
P → Q ⇔ ¬P ˅ Q
Serve para mostrar a equivalência entre a condicional e a disjunção
Equivalência Material
P ↔ Q ⇔ (P → Q) ˄ (Q → P)
Uma bicondicional pode ser transformada em duas condicionais.
Exportação/Importação
(P ˄ Q) → R ⇔ P → (Q → R)
De Morgan
¬(P ˄ Q) ⇔ ¬P ˅ ¬Q
¬(P ˅ Q) ⇔ ¬P ˄ ¬Q
A lei de De Morgan, em última análise, se apóia na definição da disjunção em termos da conjunção e na definição da conjunção em termos da disjunção. O que esta regra diz é que a negação de uma conjunção é a disjunção das negações dos componentes; e a negação de uma disjunção é a conjunção das negações das proposições componentes.
Exemplos:
“É falso que Pedro foi à escola e fez a prova” ⇔ “Pedro não foi à escola ou Pedro não fez a prova”
“Não é verdade que teremos 1 semana de folga ou uma viagem grátis” ⇔ “Não teremos 1 semana de folga e não teremos uma viagem grátis”
Não podemos esquecer que a validade das regras de inferência pode ser verificada rapidamente com o uso das tabelas verdade.
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Obrigado pelas dicas já imprimi e vou estudar e mto.
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